1.15 РАМЫ НА ДВУХ ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ
В дальнейшем для краткости будем говорить "шарнирная рама", имея в виду ее статическую определимость и отсутствие промежуточных шарниров ( см. 1.13).
Рассмотрим раму той же конфигурации, размеров и с теми же нагрузками, что и в предыдущем примере, но с шарнирным опиранием (рис.12,а).
Здесь также имеем 8 характерных сечений, но для построения эпюр необходимо вычислить сначала опорные реакции, т.к. ни для одного из сечений нельзя выбрать отсеченную часть так, чтобы избежать попадания в нее опоры с неизвестной реакцией.
Для определения опорных реакций в плоских шарнирных рамах используются следующие уравнения равновесия:
I Fx = 0 ( или I Fyi = 0);
Первое уравнение равновесия используется в том из двух приведенных вариантов, который будет содержать одну неизвестную опорную реакцию.
Так, в рассматриваемом примере этим условием будет I FxI = 0 , которое будет содержать неизвестную реакцию HA (в то время как условие I Fyi = 0
содержало бы две неизвестных реакции). Если бы опоры располагались так, что вертикальным является один стержень, то в качестве первого шага использовалось условие I Fyi = 0 .
Второе и третье уравнения равновесия (IMA = 0,IM = 0.) - такие же, как и для балок, но в одно из них обязательно войдет реакция, вычисленная из первого уравнения ( иногда - с нулевым плечом).
В качестве проверки вычисленных реакций используется условие, противоположное первому, то есть I Fyi = 0 (или I FxI = 0) .
Построение эпюр Nz,Qy,Mx в шарнирных рамах выполняется так же, как и
в защемленных, но " с меньшими затратами", так как после вычисления реакций опор направление обхода рамы не играет роли, и выбор отсеченной части в каждом случае определяется ее простотой. Вычислим реакции опор рамы (рис.12,а)
1) Z Fxi = 0: Ha - F = 0; HA = F = 20 кН
Z MA = 0: q • 4 • 2 - F • 3 - M - RB • 4 = 0;RB =-5 кН
Z MB = 0: RA • 4 - q • 4 • 2 - F • 3 - M = 0; RA = 45 кН
Знак полученный при вычислении реакции RB , говорит, что принятое
для нее направление нужно изменить на противоположное. Выполним проверку:
Z = 0: Ra - q • 4 -Rb = 45 - 40 - 5 = 0,
то есть реакции опор вычислены правильно.
Построение эпюры Nz.
Двигаясь по оси рамы от сечения 1 к сечению 6, получим:
Nz,, = Nz,2 = Nz,3 = Nz,4 = Rb = 5 кН Nz,5 = Nz,6 = - F = - 45 кН
Для сечений 7 и 8 проще рассматривать отсеченную часть, продвигаясь от опоры А к сечению 7:
Nz,8 = Nz,7 = - Ra =- 45 кН Этот же результат получим из рассмотрения отсеченной части 1-6:
Nz,7 = Nz,8 =-Rb -q• 4 = -45 кН Этот же результат получим из рассмотрения отсеченной части 1-6:
Nz,7 = Nz,8 =-Rb -q• 4 = -45 кН
По вычисленным значениям строим эпюру Nz ( рис.12,б)
Построение эпюры Qy.
Из рассмотрения отсеченной части 1-5:
Эпюра Qy, построенная по вычисленным значениям, показана на рис.12,в. Построение эпюры Mx. Из рассмотрения отсеченной части 1-5: Mx 1 = Mx 2 = M = 40 кН • м (сжаты правые волокна стойки);
Mx3 = Mx2 = 40 1)н •" (плечо силы F равно нулю);
Mx4 = Mx5 = M - F • 3 = - 20 кН • м (сжаты левые волокна стойки в сечении 4 и
нижние волокна ригеля в сечении 5);
Из рассмотрения отсеченной части 8 -6:
Mx7 = Mx 6 = HA • 6 = 120 кН • м
(сжаты правые волокна стойки и нижние волокна ригеля в сечениях 7 и 6 соответственно).
Эпюра Mx показана на рис12,г.
Пример 9. Рассмотрим шарнирную раму более сложной конфигурации (рис.13,а).
Здесь необходимо рассматривать 10 характерных сечений для построения эпюр Nz,Qy,Mx. Сечения 1-6 расположены на ригеле слева направо, а сечения 710 - на стойке сверху вниз. Как и в предыдущем примере, указанное расположение характерных сечений является безусловно необходимым, а их нумерация - произвольной.
Уравнения статики для вычисления опорных реакций имеют вид:
RB + F1 - q1 • 2 - F2 = 0; RB = 20 кН
q1 • 2 4 - F1 • 2 - q3 • 3 • 1,5 - F2 • 4 - M1 + M2 + HB • 6 = 0; HB = 20 кН
HA • 6 + F1 • 2 - q1 • 2 -1 - q2 • 3 • 4,5 + F2 • 4 + M1 - M2 = 0; HA = 10 кН Проверка вычисления опорных реакций:
I = 0: HA +HB -q2 • 3 = 10 + 20- 30 = 0
При построении эпюр Nz,Qy,Mx целесообразно выбирать отсеченную
часть, продвигаясь к центральному узлу рамы с четырех сторон, т. к. в этом случае определение внутренних силовых факторов в каждом из характерных сечений осуществляется наиболее просто.
Построение эпюр Nz,Qy,Mx.
Из рассмотрения левой относительно центрального узла отсеченной части (сечения 1-2):
Qy2 = F1 - q1 • 2 = 30 - 40 = -10 кН; (сжаты верхние волокна).
Mx2 = F1 • 2 - q1 • 2 • 1 = 60 - 40 = 20 кН • м Из рассмотрения правой отсеченной части (сечения 3-6):
Nz,3 = Nz,4 = N,5 = Nz,6 = 0;
Qy,3 = Qy,4 = Qy,5 = Qy,6 = F2 = 10 хн;
Mx3 = M2 - F2 • 4 = 10 - 40 = -30 Кн • м (сжаты нижние волокна)
Mx 4 = M2 - F2 • 1 = 10 - 10 = 0;
Mx 5 = -F2 • 1 = -10 Кн • м (сжаты нижние волокна)
Из рассмотрения верхней относительно центрального узла отсеченной части (сечения 7-8):
Qy8 = HA - q2 • 3 = 10 - 30 = -20 Кн;
Mx 8 = HA • 3 - q2 • 3 • 1,5 = 30 - 45 = -15 Кн • м; (сжаты левые волокна) Из рассмотрения нижней отсеченной части (сечения 9-10):
Nz,9 = Nz,10 =-Rb =-20 Кн; Qy,9 = Qy,10 =-Hb =-20 Кн;
Mx9 = HB • 3 = 20 • 3 = 60 Кн• м; (сжаты правые волокна)
Характер эпюры Qy на участках рамы с распределенными нагрузками q1 и q2, а именно, наличие пересечений эпюры с осью рамы, говорит о том, что
в этих точках момент Mx принимает экстремальные значения. Определение положений точек пересечения (т.е. тех точек, где Qy = 0) выполняется так же,
как и в балках (см. 1.9).
Вычислим экстремальные значения момента Mx. На участках под распределенной нагрузкой q1: і 152
Mxmax = = F1 • 1,5- q1 = 45 - 22,5 = 22,5 кН • м (сжаты верхние волокна). На участке с распределенной нагрузкой q2 :
Mxmax |q =0 = HA • 1 - q1 • 1 • 0,5 = 10 - 5 = 5 кН • м (сжаты правые волокна). Эпюры Nz,Qy,Mx показаны на рис.13,б,в,г.