Фурье-вычисления для сравнения изображений
Традиционная техника “начального уровня”, сравнения текущего изображения с эталоном основывается на рассмотрении изображений как двумерных функций яркости (дискретных двумерных матриц интенсивности). При этом измеряется либо расстояние между изображениями, либо мера их близости.
Как правило, для вычисления расстояний между изображениями используется формула, являющаяся суммой модулей или квадратов разностей интенсивности:
Если помимо простого сравнения двух изображений требуется решить задачу обнаружения позиции фрагмента одного изображения в другом, то классический метод “начального уровня”, заключающийся в переборе всех координат и вычисления расстояния по указанной формуле, как правило, терпит неудачу практического использования из-за требуемого большого количества вычислений.
Одним из методов, позволяющих значительно сократить количество вычислений, является применение Фурье преобразований и дискретных Фурье преобразований для расчёта меры совпадения двух изображений при различных смещениях их между собой. Вычисления при этом происходят одновременно для различных комбинаций сдвигов изображений относительно друг друга.
Наличие большого числа библиотек, реализующих Фурье преобразований (во всевозможных вариантах быстрых версий), делает реализацию алгоритмов сравнения изображений не очень сложной задачей для программирования.
Постановка задачи
- Пусть даны два изображения X и Y – изображение и образец, размеров (N1,N2) и (M1,M2) соответственно и Ni > Mi
- Требуется найти координаты образца Y в полном изображении X и вычислить оценочную величину — меру близости.
Корреляция как мера между изображениями
Данная величина получена из операции скалярного произведения векторов (рассматривая изображения как векторы в многомерном пространстве). И даже более — эта же формула представляет собой и стандартную статистическую формулу критерия для гипотезы о совпадении двух вероятностных распределений.
Примечание: При вычислении корреляции между фрагментами изображений, если одно изображение меньше другого, будем делить только на значение норм у пересекающийся частей.
Свёртка двух функций
- FхF’(0) = SUM F(i)^2 – скалярное произведение вектора F на самого себя
- GхG’(0) = SUM G(j)^2– скалярное произведение вектора G на самого себя
- FхG’(0) = SUM F(i)*G(i) – скалярное произведение двух векторов F и G
Преобразование Фурье
Преобразование Фурье (ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.
Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:
Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «−» в показателе экспоненты. Но все свойства будут те же, хотя вид некоторых формул может измениться.
Кроме того, существуют разнообразные обобщения данного понятия.
Многомерное преобразование Фурье
Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве ℝ^n, определяется формулой:
Обратное преобразование в этом случае задается формулой:
Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.
Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать дифференциальные уравнения в частных производных и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье.
Формулы дискретных преобразований
Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчётов в вектор спектральных отсчётов той же длины. Таким образом преобразование может быть реализовано как умножение симметричной квадратной матрицы на вектор:
Фурье-преобразования для вычисления свёртки
Одним из замечательных свойств преобразований Фурье является возможность быстрого вычисления корреляции двух функций определённых, либо на действительном аргументе (при использовании классической формулы), либо на конечном кольце (при использовании дискретных преобразований).
И хотя подобные свойства присущи многим линейным преобразованиям, для практического применения, для вычисления операции свёртки, согласно данному нами определению, используется формула
- FFT – операция прямого преобразования Фурье
- BFT – операция обратного преобразования Фурье
Фурье-преобразования для вычисления корреляции
Пусть <F,G>(t) равна корреляции получаемой в результате сдвига одного вектора, относительно другого на шаг t Тогда, как уже показано ранее, выполняется