Выражение для вектора герца в дальней зоне
Предположим, что начало координат выбрано в некоторой средней точке излучающего объема (см. рис.1). Пусть расстояние от точки до точки наблюдения значительно больше максимального линейного размера излучающего объема . Очевидно, что расстояния от точки до внутренних точек объема тем более удовлетворяют условию Выразим расстояние от точки интегрирования до точки наблюдения через и с помощью теоремы косинусов:
Пользуясь формулой бинома Ньютона, представим это выражение с точностью до величин первого порядка малости в виде:
Используя условия , получаем:
Следующий член разложения выражения (9) можно отбросить, если максимальное значение обусловленной им поправки к фазе, описываемой множителем , не превышает, к примеру, . В принципе, можно задать любую ошибку: , где число заметно больше 1. Полагая , , находим, что это условие выполняется, если расстояние превышает некоторое минимальное расстояние , определяемое соотношением .
В случае получаем
Если , тогда допустимая фазовая ошибка равна .
Наиболее часто употребляемое выражение для нахождения расстояния дальней зоны определяется формулой (10).
Подставим в показатель экспоненты подынтегрального выражения (5) расстояние в виде (9а), полагая, что в множителе при экспоненте для всех точек антенны справедливо приблизительное соотношение . Более грубое, чем в (9а), допущение здесь оправдывается тем, что в амплитудном множителе достаточно обеспечить малость по сравнению с расстоянием , тогда как в фазовом (в показателе экспоненты), слагаемое играет существенную роль, поскольку соизмеримо с длиной волны и может быть даже больше ее. В результате подстановок получаем выражение (5) для вектора Герца в дальней зоне антенны:
Здесь – орт направления из начала координат на точку наблюдения; , угол показан на рис. 1. Запись показателя экспоненты в подынтегральном выражении в (11) с помощью скалярного произведения удобна при решении конкретных задач, в которых одновременно используются две системы координат: декартова, связанная с источником поля, и сферическая – для определения поля в дальней зоне антенны.
Выражение (11) гораздо проще исходного (5), поскольку оно допускает интегрирование в аналитическом виде для ряда типичных функций распределения амплитуды и фазы тока по объему .
Как видно из (11), в данном приближении, соответствующем дальней зоне антенны, зависимости поля от расстояния и направления в пространстве разделяются. Расстояние входит только в функцию сферической волны .
Величина интеграла не зависит от и определяется только направлением на точку наблюдения, поскольку угол отсчитывается от этого направления. Этот интеграл определяет направленные свойства излучающей системы.
Комплексный множитель системы излучателей
Разложим в каждой точке излучающего объема вектор на три декартовы компоненты , , и распишем равенство (11) по компонентам. Оно распадается на три скалярных равенства. Разделим и умножим в каждом из них подынтегральное выражение на величину соответствующей компоненты тока в начале координат (для простоты опускаем индексы , указывающие компоненты). Обозначим или . Здесь –амплитудное распределение плотности тока, т. е. зависимость амплитуды плотности тока от координат раскрыва антенны; –фазовое распределение плотности тока, т. е. зависимость фазы плотности тока от координат раскрыва.
С учетом введенных обозначений выражение (11) сводится к виду:
В теории антенн функция называетсякомплексным множителем системы изотропных излучателей, в данном случае – системы непрерывной. Аналогичным путем можно получить общее выражение для комплексного множителя дискретной системы излучателей в виде суммы полей, создаваемых отдельными излучателями антенной решетки излучателей.
Комплексный множитель позволяет получить интерференционную картину поля в зависимости от направления в пространстве. Как следует из (13), комплексный множитель определяется следующими факторами:
– геометрическими размерами излучающей системы, появляющимися в явном виде после интегрирования;
– рабочей длиной волны
Показатель экспоненциального множителя в подынтегральном выражении учитывает разность фаз полей, приходящих в точку наблюдения из начала координат и произвольной точки антенны. Направленные свойства отдельного излучателя, являющегося составной частью всей системы, здесь не фигурируют. Поэтомукомплексный множитель является диаграммой направленности системы изотропных излучателей, расположенных непрерывным образом и возбуждаемых с теми же амплитудами и фазами, что и реальные излучатели. В этом заключается его физический смысл. Изотропными называются гипотетические излучатели, интенсивность излучения которых не зависит от направления.
В случае дискретной системы излучателей интеграл в (13) заменяется суммой: поле в точке наблюдения есть сумма полей, приходящих от каждого излучателя.