Степенная функция и корни - определение, свойства и формулы

Для натуральных значений показателя , степенная функция есть произведение n чисел, равных x : . Она определена для всех действительных .

Для положительных рациональных значений показателя , степенная функция есть произведение n корней степени m из числа x : . Для нечетных m , она определена для всех действительных x . Для четных m , степенная функция определена для неотрицательных .

Для отрицательных , степенная функция определяется по формуле: . Поэтому она не определена в точке .

Для иррациональных значений показателя p , степенная функция определяется по формуле: , где a – произвольное положительное число, не равное единице: . При , она определена для . При , степенная функция определена для .

Непрерывность. Степенная функция непрерывна на своей области определения.

Свойства и формулы степенной функции при x ≥ 0

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции при неотрицательных значениях аргумента x . Как указано выше, при некоторых значениях показателя p , степенная функция определена и для отрицательных значений x . В этом случае, ее свойства можно получить из свойств при , используя четность или нечетность. Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Корни – определение, формулы, свойства

Также можно сказать, что корень из числа x степени n – это корень (то есть решение) уравнения . Заметим, что функция является обратной к функции .

Квадратный корень из числа x – это корень степени 2: . Кубический корень из числа x – это корень степени 3: .

Четная степень

Для четных степеней n = 2 m , корень определен при x ≥ 0 . Часто используется формула, справедливая как для положительных, так и для отрицательных x : . Для квадратного корня: .

Здесь важен порядок, в котором выполняются операции – то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается неотрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: , то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.

Нечетная степень

Для нечетных степеней , корень определен для всех x : ; .

Свойства и формулы корней

Корень из x является степенной функцией: . При x ≥ 0 имеют место следующие формулы: ; ; , ; .

Эти формулы также могут быть применимы и при отрицательных значениях переменных . Нужно только следить за тем, чтобы подкоренное выражение четных степеней не было отрицательным.

Частные значения

Корень 0 равен 0: . Корень 1 равен 1: . Квадратный корень 0 равен 0: . Квадратный корень 1 равен 1: .

Пример. Корень из корней

Рассмотрим пример квадратного корня из корней: . Преобразуем внутренний квадратный корень, применяя приведенные выше формулы: . Теперь преобразуем исходный корень: . Итак, .

Графики степенной функции

Графики степенной функции y = x p при различных значениях показателя p .

Здесь приводятся графики функции при неотрицательных значениях аргумента x . Графики степенной функции, определенной при отрицательных значениях x , приводятся на странице «Степенная функция, ее свойства и графики»

Обратная функция

Обратной для степенной функции с показателем p является степенная функция с показателем 1/p .

Производная степенной функции

Интеграл от степенной функции

Разложение в степенной ряд

При – 1 < x < 1 имеет место следующее разложение:

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного переменного z : f ( z ) = z t . Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ ( r = |z| ): z = r e i φ . Комплексное число t представим в виде действительной и мнимой частей: t = p + i q . Имеем: Далее учтем, что аргумент φ определен не однозначно: ,

Рассмотрим случай, когда q = 0 , то есть показатель степени - действительное число, t = p . Тогда .

Если p - целое, то и kp - целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций: . То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z , имеет только одно значение и поэтому является однозначной.

Если p - иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, . , то функция z p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.

Если p - рациональное, то его можно представить в виде: , где m, n - целые, не содержащие общих делителей. Тогда . Первые n величин, при k = k 0 = 0, 1, 2, . n-1 , дают n различных значений kp : . Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k 0 + n имеем: . Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2 π , имеют равные значения. Поэтому при дальнейшем увеличении k мы получаем те же значения z p , что и для k = k 0 = 0, 1, 2, . n-1 .

Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени является многозначной и имеет n значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.

В частности, корень степени n имеет n значений. В качестве примера рассмотрим корень n – й степени действительного положительного числа z = x . В этом случае φ 0 = 0 , z = r = |z| = x , . . Так, для квадратного корня, n = 2 , . Для четных k, ( – 1 ) k = 1 . Для нечетных k, ( – 1 ) k = – 1 . То есть квадратный корень имеет два значения: + и – .

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎