ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ
1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ Цель работы: определение модуля сдвига и момента инерции диска методом крутильных колебаний. Приборы и принадлежности: лабораторная установка, дополнительные грузы (цилиндры или шары), электрический секундомер, штангенциркуль, весы, микрометр, сантиметровая лента. df. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ Всякое изменение размеров или формы твѐрдого тела под действием внешних сил называется деформацией. При деформации происходят смещения частиц, находящихся в узлах кристаллических решеток твердых тел, из первоначальных положений равновесия в новые. Этому препятствуют силы взаимодействия между частицами, вследствие чего в деформированном теле возникают упругие внутренние силы, которые уравновешивают внешние силы, приложенные к телу (в любой момент времени F внеш = F упруг ). Работа внешней силы, совершѐнная при деформации тела запасается в теле в виде энергии упругой деформации, которая освобождается при снятии нагрузки. Деформация называется упругой, если она исчезает после прекращения действия вызывающей еѐ силы. При этом происходят смещения частиц из новых положений равновесия в кристаллической решетке в прежние. В деформированном теле возникают напряжения. Напряжением называется физическая величина, численно равная упругой силе df упр, приходящейся на единицу площади ds сечения тела: df dfвнеш упр. ds ds При равномерной нагрузке напряжение равно: F Fупр внеш. S S Напряжение называется нормальным, если сила направлена по нормали к площадке ds, т.е. df ds. Если сила направлена по касательной к площадке ds, то напряжение называется касательным, т.е. ds Мерой деформации является относительная деформация, равная отношению абсолютной деформации х к первоначальному значению величины х, характеризующей размеры или форму тела.
2 Напряжение при упругой деформации тела пропорционально относительной деформации (закон Гука): K x, x где К модуль упругости, численно равный напряжению, которое возникает при относительной деформации, равной единице. Простейшей деформацией является продольное или одностороннее растяжение (сжатие), в результате которого происходит изменение длины тела под действием внешней растягивающей (или сжимающей) силы. Относительная деформация в этом случае, где l первоначальная длина, Δl x l x l изменение длины под действием деформирующей силы. В случае цилиндрического тела и равномерной нагрузки K. Коэффициент К в этом F l S l случае модуль упругости (или модуль Юнга). Другими видом деформации является деформация сдвига (сдвиг). Сдвигом называется деформация, при которой все плоские слои твѐрдого тела, параллельные некоторой плоскости (плоскости сдвига), не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу (рис. ). х x х Рис.. При равномерной нагрузке сдвиг происходит под действием силы F, приложенной касательно к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань x AD закреплена неподвижно. Мерой деформации является угол сдвига x (относительный сдвиг), выраженный в радианах. Для малых деформаций x tg (), где x CC ' абсолютный сдвиг, x х размер тела. Касательное напряжение, возникающее при такой деформации x F K, где S площадь грани ВС (рис. ). С учетом () x S K, ()
3 таким образом, касательное напряжение пропорционально углу сдвига (закон Гука). Коэффициент К в этом случае носит название модуль сдвига и обозначается G, или G (). Разновидностью деформации сдвига является деформация кручения (кручение). Кручением называется деформация образца с одним закреплѐнным концом под действием пары сил, направленных по касательной к сечению образца. Вращающий момент этой пары сил называется крутящим моментом М кр. Кручение состоит в относительном повороте параллельных друг другу сечений, проведѐнных перпендикулярно к оси образца. В случае кручения круглого цилиндрического тела сечения, перпендикулярные к оси вращения, сохраняя форму, оста- Рис. ются параллельными друг к другу, однако по отношению к закреплѐнному концу они повѐрнуты на угол сдвига (рис. ). Рассмотрим деформацию кручения цилиндрического образца (цилиндрической проволоки) радиусом R длиной L с закреплѐнным основанием (рис. ). Если верхнее основание цилиндра поворачивается на угол, то оно оказывается сдвинутым относительно нижнего основания на угол. Чтобы повернуть верхнее основание на угол необходимо приложить внешние силы касательные к данному основанию, следовательно, в образце возникает касательное напряжение. Любой элемент этого сечения повернулся на угол. На любую элементарную площадку верхнего основания действует касательная сила df ds. Выделим на верхнем основании тонкое кольцо радиуса r и толщиной dr. Кольцо имеет площадь ds rdr. Крутящий момент, действующий на кольцо df r r dr. Так как G, а из рис. видно, что L r, тогда касательное r напряжение, возникающее в образце G (), а L крутящий момент внешних сил, действующих на кольцо r dm кр G r dr. L dm кр
4 Отсюда крутящий (вращающий) момент внешних сил, действующих на верхнее основание цилиндра R R R G G R M кр dmкр G r dr r dr ; 0 0 L L 0 L Таким образом, момент внешних сил, закручивающий на угол однородный цилиндрический стержень длиной L и радиусом R, равен R M кр G или M кр (закон Гука для кручения), L где постоянная называется модулем кручения и показывает, какой крутящий момент необходимо приложить к телу, чтобы вызвать в теле сдвиг слоѐв, равный одному радиану. (При больших закон Гука не выполняется.) Модуль кручения зависит от размеров деформируемого тела и его формы. Величина зависит от модуля сдвига G. Для тела цилиндрической формы GR. (5) L В любой момент времени, крутящий момент, создающий в теле деформацию кручения равен моменту внутренних упругих сил, препятствующих деформации. Так как М кр = М внутр, то после прекращения действия внешних сил внутренние упругие силы стремятся вернуть тело в исходное состояние. Тело под действием вращающего момента внутренних сил начнет поворачиваться (будет совершать крутильные колебания). Согласно основному закону вращательного движения дифференциальное уравнение крутильных колебаний, возникающих при кручении, имеет вид d d I Mкр или 0, dt dt I где I момент инерции цилиндрической проволоки относительно оси вращения. d Введя обозначение, получим 0. I dt Решение этого дифференциального уравнения имеет вид: 0 sin( t 0), где 0 амплитудное значение угла сдвига. Таким образом, является угловой частотой колебаний цилиндрической проволоки, период которых I T или T, (6) где I момент инерции проволоки, модуль кручения проволоки. Если к свободному основанию закреплѐнной цилиндрической проволоки прикрепить тело (например, диск) с моментом инерции I относительно оси проволоки, то тело (диск) вместе с проволокой будет совершать крутильные колебания с периодом
5 I I T. Если момент инерции проволоки относительно оси вращения мал по сравнению с моментом инерции тела относительно этой же оси I I, I то T. (7) Если изменить момент инерции тела (прибавить к диску дополнительные грузы в виде двух или четырѐх одинаковых цилиндров или шаров на одинаковом расстоянии от оси вращения), то период колебаний будет равен I T. Момент инерции диска с дополнительными грузами I равен сумме моментов инерции тела (диска) I и дополнительных грузов I 0 согласно теореме Штейнера: I =I +I 0, а модуль кручения проволоки (подвеса) остаѐтся неизменным I I0 T. (8) Таким образом, изучая кручение закрепленной проволоки, к свободному основанию которой прикреплен диск с дополнительными грузами, можно экспериментально определить модуль кручения проволоки и момент инерции диска. Определение модуля кручения и модуля сдвига проволоки Решая совместно два уравнения (7) и (8) относительно модуля кручения получим: I0. (9) T T Учитывая (5) получим формулу для нахождения модуля сдвига L LI 0 G. (0) R R T T Момент инерции дополнительных грузов I 0 найдѐм согласно теореме Штейнера. Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции и произведения массы тела на квадрат расстояния l между осями. Момент инерции дополнительных грузов ( или цилиндра радиусом r каждый), закрепленных на диске на расстоянии l от оси вращения и обладающих общей массой m, равен 5
6 I0 0, 5mr ml. () Момент инерции дополнительных грузов ( или шара радиусом r каждый), расположенных на расстоянии l от оси вращения, и обладающих общей массой m, равен I0 mr ml. () 5 И тогда модуль сдвига можно найти по формуле () если дополнительными грузами служат цилиндры Lm( r l ) G. () R ( T T ) Если же дополнительными грузами являются шары, то модуль сдвига можно определить по формуле: 6Lm( r,5l ) G. () 5R ( T T ) Нахождение момента инерции диска относительно оси, проходящей через центр тяжести и совпадающей с осью вращения проволоки Решая два уравнения (7) и (8) относительно момента инерции, исключив модуль кручения, найдем момент инерции диска T I I0. () T T СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ Схема экспериментальной установки для определения модуля сдвига и момента инерции диска представлена на рис.. Установка носит название крутильный маятник. На стальной проволоке (), один L конец которой жестко закреплен, подвешено тело (диск) (). На диске закреплены дополнительные грузы (цилиндры r или шары) (). Система диск-проволока l может совершать колебания относительно вертикальной оси, совпадающей с осью проволоки. Рис. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ. Подвешенное к длинной проволоке тело (диск) привести в крутильные колебания. Для этого диск повернуть на небольшой угол относительно оси, проходящей вдоль подвеса, и отпустить. Измерить время t, которое требуется 6
7 для совершения N (не менее 0) колебаний, и вычислить период колебания T. Опыт повторить пять раз. (Угол поворота должен быть тем же). Период это время одного полного колебания. t T, N где t время, N число колебаний. Результаты занести в табл. Закрепить дополнительные грузы ( или цилиндра или шара, по указанию преподавателя) на диске на одинаковых расстояниях от оси вращения.. Привести диск с дополнительными грузами в крутильные колебания, тем же способом определить время t, которое требуется для совершения N (не менее 0) колебаний и вычислить период колебаний. Опыт повторить 5 раз. Результаты занести в табл. Убрать дополнительные грузы с диска и при помощи весов определить их общую массу (один раз). Результаты занести в табл.. Таблица N t (с) T (с) N t (с) T (с) I 0 (кгм ) I (кгм ) G (Н/м ) 5 Среднее значение 5. Штангенциркулем измерить пять раз диаметры (радиусы r) дополнительных грузов (цилиндров или шаров) и расстояния l от оси вращения до точки закрепления тел на диске. Результаты занести в табл.. 6. Измерить сантиметровой лентой длину L проволоки, на которой прикреплен диск. Результаты занести в табл.. 7. Микрометром измерить в нескольких местах диаметр проволоки d. Определить радиус R проволоки. Результаты занести в табл.. Таблица (м) 5 Среднее значение R r (м) l (м) m (кг) L (м) 8. Вычислить средние арифметические значения величин T, T, r, l, R, L. 7
8 9. Вычислить по формуле () или () момент инерции дополнительных грузов I 0. И по формуле () момент инерции диска I и результат показать преподавателю. 0. Вычислить модуль сдвига по формуле (0) и результат показать преподавателю.. Сравнить полученный результат с теоретическим значением модуля сдвига для данного материала и сделать вывод.. По имеющимся данным оценить момент инерции проволоки. Убедиться, что I I (по указанию преподавателя).. Подсчитать относительную погрешность для момента инерции дополнительных грузов, находящихся на расстоянии l от оси вращения по формуле: а) для цилиндров б) для шаров I I 0 0 m m l ll r l r r r r r I 0 m l l 5 I0 m l r l r 5 5. Подсчитать абсолютную погрешность I0 I0 5. Записать результат в виде: I ( I I кг м КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. Какая физическая величина является мерой инертности при поступательном движении? Какая физическая величина является мерой инертности при вращательном движении?. От чего зависит момент инерции абсолютно твердого тела?. Какими способами можно определить момент инерции абсолютно твердого тела?. Сформулируйте теорему Штейнера. Приведите пример доказательства теоремы. 5. Каков физический смысл модуля кручения? 6. Что такое относительная деформация? 7. Каковы отличительные признаки различных типов деформаций? 8. Что такое деформация сдвига? Кручения? Всегда ли выполняется закон Гука? 9. Как рассчитать момент инерции проволоки относительно оси, проходящей вдоль проволоки? 0. Исследуйте зависимость периода колебаний диска от амплитуды крутильных колебаний )