Практическая работа №4 по теме: «Вычисление пределов»
Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:
1, 2, 3, … , n –1, n, … .
Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом un , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:
и называемый числовой последовательностью. Величина un называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой un = f ( n ), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).
П р и м е р ы числовых последовательностей:
1, 2, 3, 4, 5, … - ряд натуральных чисел ;
2, 4, 6, 8, 10, … - ряд чётных чисел;
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … - числовая последовательность
с увеличивающейся точностью.
В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью.
Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел . Это понятие имеет более строгое определение.
Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала ( a - , a + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.
Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | un | M для всех n . Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.
Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства).
Основные свойства пределов. Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.
Если < un > и < vn > - две сходящиеся последовательности, то:
Если члены последовательностей < un >, , удовлетворяют неравенствам
Замечательные пределы
2. Пределы функций
Предел функции. Некоторые замечательные пределы.
Бесконечно малая и бесконечно большая величины.
Конечный предел. Бесконечный предел.
Понятие бесконечности.
Предел функции. Число L называется пределом функции y = f ( x ) при x, стремящемся к a :
если для любого > 0 найдётся такое положительное число = ( ), зависящее от , что из условия | x - a | < следует | f ( x ) – L | < .
Это определение означает, что L есть предел функции y = f ( x ), если значение функции неограниченно приближается к L , когда значение аргумента x приближается к a. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число , что если x находится в интервале ( a - , a + ), то значение функции лежит в интервале ( L - , L + ). Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается к a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.
П р и м е р . Найти
Р е ш е н и е . Подставляя x = 3 в выражение получим не имеющее смысла выражение . Поэтому решим по-другому:
Сокращение дроби в данном случае корректно, так как x 3 , он лишь приближается к 3. Теперь мы имеем:
поскольку, если x стремится к 3, то x + 3 стремится к 6 .
З амечательные пределы
Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Если предел некоторой переменной равен 0, то эта переменная называется бесконечно малой.
П р и м е р . Функция y = является бесконечно малой при x,
cтремящемся к 4, так как
Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой.
Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так называемый бесконечный предел, что записывается как:
Символ ( “бесконечность” ) не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при x , стремящемся к 3. Следует отметить, что дробь может быть как положительной ( при x > 3 ), так и отрицательной ( при x < 3 ). Если бесконечно большая величина может быть только положительной при любых значениях x, это отражается в записи. Например, при x 0 функция y = x - 2 бесконечно большая, но она положительна как при x > 0, так и при x < 0 ; это выражается так: