Федеральное агентство по образованию. Е.И. Деревягина РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В КУРСЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА.
2 Утверждено Научно-методическим советом физического факультета 10 января 007., протокол 1 Рецензент доцент, кандидат физико-математических наук Ратинер Н.М. Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математической физики физического факультета Воронежского государственного университета. Рекомендовано для студентов физического факультета Воронежского государственного университета всех форм обучения. Для специальностей: (013800) Радиофизика и электроника, (014100) Микроэлектроника и полупроводниковые приборы, (010400) - Физика
3 3 Оглавление 1. Примеры типовых задач 3. Задачи для самостоятельной работы 4 3. Индивидуальные домашние задания 5 4. Решение типового варианта 8 Список использованной литературы Примеры типовых задач x + y Дан эллипс, каноническое уравнение которого имеет вид = 1. Найти координаты его фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис. Сделать рисунок. (Ответ: F 1 ( 4, 0), F (4, 0), ε = 0,8, х= ±5/4.). По каноническому уравнению гиперболы x y = найти ее полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис. Сделать рисунок. 3. Построить параболу, ее директрису и фокус, зная каноническое уравнение параболы: x = 6y. 4.Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что: а) его малая ось равна 4, расстояние между фокусами равно 10; б) расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет равен 3/5; в) расстояние между фокусами равно 4, расстояние между директрисами равно 5; г) расстояние между директрисами равно 3, эксцентриситет равен 0,5. 5.Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что: а) расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами равно 10;
4 4 б) действительная полуось равна 5, вершины делят расстояние между центром и фокусом пополам; в) действительная ось равна 6, гипербола проходит через точку А (9, 4); г) точки Р( 5, ) и Q ( 5, ) лежат на гиперболе. 6.Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что: а) парабола имеет фокус F(0, ) и вершину в точке O(0, 0); б) парабола симметрична относительно оси абсцисс и проходит через точки O(0, 0) и M(1, 4); в) парабола симметрична относительно оси ординат Оу и проходит через точки O(0, 0) и N(6, ).. Задачи для самостоятельной работы 1. Найти уравнение окружности, если концы одного из ее диаметров находятся в точках A(3, 9) и В(7, 3). (Ответ: ( x 5) + ( y 6) = 13. ). Составить уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах эллипса x + y = , а фокусы в его вершинах. ( Ответ: x + y = ) 3. Составить уравнение траектории движения точки М(х, у), если в любой момент времени она остается равно удаленной от точки А(8, 4) и оси ординат. (Ответ: (у 4) =16(х 4) парабола.) 4. Записать уравнение траектории движения точки М(х, у), если в любой момент времени она находится в 1,5 раза дальше от точки А(5, 0), чем от прямой 5х 16 = 0. (Ответ: x y = ).
5 5 5.Ракета, пуск которой произведен под острым углом к горизонту, описала дугу параболы и упала на расстоянии 60 км от места старта. Зная, что наибольшая высота, достигнутая ракетой, равна 18 км, записать уравнение параболической траектории, приняв место старта за начало координат, а место падения лежащим на положительной полуоси Ох, и определить параметр траектории. (Ответ: (х 30) = 50(у 18), р = 5 км.) 3. Индивидуальные домашние задания 1. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В точки, лежащие на кривой, F фокус, а большая (действительная) полуось, b малая (мнимая) полуось, ε эксцентриситет, у = ± kx уравнения асимптот гиперболы, D -директриса кривой, с фокусное расстояние) а) b = 15, F( 10, 0); б) а = 13, ε =14/13; в)d x = а) b =, F( 4, 0); б) а = 7, ε = 85 / 7 ; в) D:x = а) A(3, 0), В(, 5 / 3); б) k = 3/4, ε = 5/4; в) D у= а) ε = 1 / 5, А( 5, 0); б) A( 80, 3), B( 4 6,3 ); в) D у= а) а =, ε = 57 / 11; б) k = /3, с = 10 3 ; в) ось симметрии Ох и A (7, 9) a) b= 15, ε = 10 / 5 ;б) k = 3/4, а = 16; в) ось симметрии Ох и A(4, - 8) а) а = 4, F = (3, 0); б) b = 10, F = ( 11, 0); в) D x = a) b = 4, F = (9, 0); б) а = 5, ε = 7/5; в) D x = а) A(0, 3 ), B( 14 / 3 1); б) k = 1 /10, ε = 11/10; в) D у = а)ε = 7/8, A(8,0); б) A(3, 3 / 5 ), B( 13 /5, 6 ); в) D у = 4.
6 6. Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки и имеющей центр в точке А..1.Вершины гиперболы 1 x 13 y = 156, A(0, ). Вершины гиперболы 4 x 9 y = 36, A(0, 4)..3.Фокусы гиперболы 4у 5x = 600, A (0, 8)..4. O(0, 0), А вершина параболы у = 3(x 4)..5.Фокусы эллипса 9 x + 5 y = 1, A (0, 6)..6.Левый фокус гиперболы 3 х 4 у = 1, A (О, 3)..7.Фокусы эллипса 3 x + 4 у = 1, A его верхняя вершина..8.вершину гиперболы x 16y = 64, A(0, )..9.Фокусы гиперболы 4x 5y = 80, A(0, 4)..10. O(0, 0), A - вершина параболы у = (х + 5)/..11.Правый фокус эллипса 33 x + 49 y = 1617, A (1, 7)..1.Левый фокус гиперболы З x 5 y = 30, A(0, 6)..13.Фокусы эллипса 16 x + 41у = 656, A его нижняя вершина..14.вершину гиперболы x 9 у = 18, A (0, 4)..15.Фокусы гиперболы 5 x 11у = 55, A (0, 5)..16. B(1, 4), A вершина параболы у = (х 4)/3..17.Левый фокус эллипса З х + 7 у = 1, A ( 1, 3)..18.Левую вершину гиперболы 5 x 9 у = 45, A (О, 6)..19.Фокусы эллипса 4 x 5 y = 600, A его верхняя вершина..0.правую вершину гиперболы З x 16 у = 48, A(1, 3)..1.Левый фокус гиперболы 7x 9 у = 63, A( 1, ). B(, 5), A вершина параболы х = (у + 1)..3.Правый фокус эллипса x + 4 у = 1, A (, 7)..4.Правую вершину гиперболы 40 x 81 y = 340, A(, 5)..5.Фокусы эллипса x + 10 у = 90, A его нижняя вершина.
7 7.6.Правую вершину гиперболы З x 5 у = 75, A( 5, )..7.Фокусы гиперболы 4 x 5у = 0, A (0, 6)..8. B (3, 4), A вершина параболы у = (x + 7)/4..9.Левый фокус эллипса 13 x + 49 у = 837, A(1, 8)..30.Правый фокус гиперболы 57 x 64 y = 3648, A (, 8). 3. Составить уравнение линии, каждая точка М которой удовлетворяет заданным условиям. 3.1.Отстоит от прямой х = 6 на расстоянии, в два раза большем, чем от точки А (1, 3). 3.. Отстоит от прямой х = на расстоянии, в два раза большем, чем от точки A (4, 0) Отстоит от прямой у = на расстоянии, в три раза большем, чем от точки A (5, 0) Отношение расстояний от точки М до точек A (, 3) и В ( 1, ) равно 3/ Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A(4, 0) и В(, ) равна Отстоит от точки A(1, 0) на расстоянии, в пять раз меньшем, чем от прямой х = Отстоит от точки A(4, 1) на расстоянии, в четыре раза большем, чем от точки В (, - 1) Отстоит от прямой х= 5 на расстоянии, в три раза большем, чем от точки A (6, 1) Отстоит от прямой у = 7 на расстоянии, в пять раз большем, чем от точки A (4, 3) Отношение расстояний от точки М до точек A( 3, 5) и В(4, ) равно 1/3.
8 Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A ( 5, 1) и 5(3, ) равна 40, Отстоит от точки A (, 1) на расстоянии, в три раза большем, чем от прямой х = Отстоит от точки A( 3, 3) на расстоянии, в три раза большем, чем от точки B(5, 1) Отстоит от прямой х = 8 на расстоянии, в два раза большем, чем от точки A( 1, 7) Отстоит от прямой х = 9 на расстоянии, в четыре раза меньшем, чем от точкиa( 1, ) Отношение расстояний от точки М до точек A (, 4) и В(3, 5) равно / Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A( 3, 3) иb(4, 1) равна Отстоит от точки A (0, 5) на расстоянии, в два раза меньшем, чем от прямой х = Отстоит от точки A (4, ) на расстоянии, в два раза меньшем, чем от точки B(1, 6). 3.0.Отстоит от прямой х = 7 на расстоянии, в три раза меньшем, чем от точки A(1, 4). 4. Решение типового варианта 1. Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая полуось которого равна 3, а фокус находится в точке F( 5, 0); б) гиперболы с мнимой полуосью, равной, и фокусом F( 13 имеющей директрису х = 3., 0); в) параболы,
9 9 x y а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид + = 1. По условию b a задачи большая полуось а = 3, c = 5. Для эллипса выполняется равенство b = a с. Подставив в него значения а и c, найдем = 3 ( 5) = 4 Искомое уравнение эллипса x + y = b. x y б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид = 1. По условию b a мнимая полуось b =, а с = 13. Для гиперболы справедливо равенство b = с a. Поэтому а = с b = ( 13) = 9 уравнение гиперболы: x y = 1; 9 4. Записываем искомое в) Каноническое уравнение параболы в данном случае должно иметь вид у = рх, а уравнение ее директрисы х = р/. Но по условию задачи уравнение директрисы х= 3. Поэтому р/= 3, р = 6 и искомое каноническое уравнение параболы имеет вид у =1х.. Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса х + 4y = 4 и имеющей центр в его точке. Для данного эллипса x + y = верхняя точка A (0, 1), a =, b = 1. Поэтому c = a b = 4 1 = 3 и фокусы находятся в точках F( 3, 0), F ( 3,0). Радиус R искомой окружности вычисляем по формуле расстояния между двумя точками: R = AF m ( 3 0) + ( 0 1) = = AF = = В соответствии с уравнением (4.) записываем искомое уравнение окружности: (х 0) + (у 1) = или х + (у 1) = 4.
10 10 3. Составить уравнение линии, каждая точка М которой отстоит от точки A(3, ) на расстоянии, в три раза большем, чем от точки В( 1, 0). Пусть М(х, у) любая точка искомой линии (рис. 1). Тогда по условию задачи AM = 3 BM. Так как ( x 3) + ( y ). BM = ( x+ 1) y. A M = + Рис 1. то уравнение искомой линии ( x 3) + ( y ) = 3 ( x+ 1) + y. Преобразуем его, возведя обе части в квадрат. Имеем: x 6х + 9 +y 4у + 4 = 9x + 18x y, 8x + 4x + 8у + 4у 4 = 0. Выделив полные квадраты в последнем уравнении, придем к уравнению x + + y + =, которое является уравнением окружности с 4 16 центром в точке С ( 3/, 1/4) и радиусом R = 3 5 / 4. Список использованной литературы 1. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии : учеб. пособие для вузов / Д.В. Клетеник. М. : Наука, с.. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике : в 3-х ч. / под ред. А.П. Рябушко. Минск : Вышэйшая школа, Ч с.
11 11 Учебное издание Деревягина Елена Ивановна РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В КУРСЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА. Учебно-методическое пособие для вузов Редактор Воронина А.П. Подписано в печать Формат 60х84/16. Усл. п.л. 0,75. Тираж 50. Заказ 013. Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета , г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ком.43, тел Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ.