Признак Д'Аламбера. Вторая часть.
Здесь мы продолжим начатый в первой части разбор примеров, в которых вопрос сходимости числовых рядов решается с помощью признака Д'Аламбера.
Признак Д'Аламбера (в предельной форме)
Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в темах "Предел отношения двух многочленов" и "Второй замечательный предел".
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac$. Так как $u_n > 0$, то наш ряд является строго положительным.
Общий член ряда содержит факториалы и степени – явное указание на необходимость применения признака Д'Аламбера. Запишем $u_$, подставив в равенство $u_n=\frac$ выражение $n+1$ вместо $n$:
Поговорим про упрощение полученного выражения. Во-первых, $\frac=3^=3^=\frac=\frac$. Во-вторых, $\frac=\frac=\frac$. Итак выражение под пределом примет такой вид:
При вычислении данного предела было использовано равенство $\lim_\left(1+\frac\right)^x=e$ (см. тему "Второй замечательный предел"). Число $e$ меньше трёх (верно приближённое равенство $e\approx 2,7183$), поэтому $\frac< 1$.
Однако решение на этом не закончено, ведь в условии задачи говорилось ещё про значение $\lim_\frac$. Воспользуемся полученным результатом относительно сходимости нашего ряда: ряд $\sum\limits_^\frac$ сходится. Если некий ряд сходится, то для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. $\lim_u_n=0$. В нашем случае $u_n=\frac$, т.е. $\lim_\frac=0$.
Кстати сказать, такой приём вычисления пределов нередко используют в контрольных работах. Сначала требуется доказать сходимость соответствующего ряда, а затем использовать тот факт, что предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_^\frac$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac$. Так как $u_n > 0$, то наш ряд является строго положительным.
Общий член ряда содержит факториалы и степени – явное указание на признак Д'Аламбера. Запишем $u_$, подставив в равенство $u_n=\frac$ выражение $n+1$ вместо $n$:
Кстати сказать, раскрывать скобки в выражении $3(n+1)^2-1$ было вовсе не обязательно, так как предел можно будет найти и без раскрытия скобок. Просто выражение $3n^2+6n+2$ смотрится попроще, чем $3(n+1)^2-1$. Раскрывать скобки или нет – в такой ситуации является делом вкуса.
При вычислении предела было использовано деление числителя и знаменателя на $n^3$ (см. пример №2 на этой странице).
Так как $\lim_\frac=0< 1$, то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac$. Так как $u_n > 0$, то наш ряд является строго положительным.
Так как задание общего члена ряда с помощью подобного произведения встречается впервые, то я напишу несколько первых членов этого ряда:
Для подобных рядов применение признака Д'Аламбера приводит к быстрому получению ответа. Запишем $u_$:
Кстати сказать, записать $u_$ можно более коротко и красиво:
Почему такая запись более выгодна? Вот почему: нам придётся находить предел выражения $\frac$. Давайте подставим в эту дробь выражение для $u_$:
Как видите, сокращение прошло крайне легко. Итак:
При вычислении предела было использовано деление числителя и знаменателя на $n$ (см. пример №1 на этой странице)
Ответ: ряд сходится.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac$. Так как $u_n > 0$, то наш ряд является строго положительным.
Решение этот примера полностью аналогично решению предыдущего примера №5. Я добавил данный пример сугубо из-за выражения $(2n-1)!!$, которое читателю может быть незнакомо. Знак "!!" читается как "двойной факториал". Выражение $n!!$ обозначает произведение всех натуральных чисел, меньших $n$, чётность которых совпадает с чётностью числа $n$. Например, число 10 – чётное. Значит, запись $10!!$ означает произведение всех чётных натуральных чисел, которые меньше 10:
$$ 10!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10=3840. $$
Другой пример: число 7 является нечётным. Поэтому выражение $7!!$ равно произведению всех нечётных натуральных чисел, которые меньше чем 7:
$$ 7!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7=105. $$
Каким бы ни был номер $n$, выражение $2n-1$ всегда равно нечётному числу. Таким образом, запись $(2n-1)!!$ означает произведение всех нечётных чисел от 1 до $2n-1$:
$$ (2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-1) $$
Применяем признак Д'Аламбера:
При вычислении предела было использовано деление числителя и знаменателя на $n$ (см. пример №1 на этой странице)
Так как $\lim_\frac=5> 1$, то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признака Д'Аламбера рассмотрим в третьей части.