РАСЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СТЕПЕНИ ВУЛКАНИЗАЦИИ КРУПНОГАБАРИТНЫХ РЕЗИНОТЕХНИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ. Методические указания
1 Министерство образования Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Межкафедральная лаборатория информационных технологий ХТФ Кафедра химии и технологии переработки эластомеров РАСЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СТЕПЕНИ ВУЛКАНИЗАЦИИ КРУПНОГАБАРИТНЫХ РЕЗИНОТЕХНИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ Методические указания
2 2 Волгоград 200
3 УДК Расчет нестационарного температурного поля и прогнозирование степени вулканизации крупногабаритных резинотехнических изделий: Методические указания к лабораторной работе/ Сост. И.П. Петрюк, А.Н. Гайдадин, В.Ф. Каблов, Б.П. Петрюк: Волгоград. гос. техн. ун-т. Волгоград, с. В лабораторной работе описано решение одномерной нестационарной задачи теплопроводности с помощью численных методов и методика прогноза степени вулканизации крупногабаритных резинотехнических изделий с помощью уравнения неизотермической вулканизации резин. Предназначены для студентов по направлению 5508 Химическая технология и биотехнология, специальности 2506 Химическая технология переработки пластмасс и эластомеров по курсу "Моделирование процессов переработки полимеров, а также для студентов по магистерской программе Технология переработки эластомеров. Библиограф.: 4 назв. Рецензент В.П. Медведев Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета. Волгоградский государственный технический университет, 200. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
4 4 Целью настоящей работы является ознакомление с методикой расчета нестационарного температурного поля; моделирование процесса вулканизации резиновой смеси в неизотермическом режиме прогрева. Задачей студента является овладение теоретическими подходами и основными математическими закономерностями, на которых базируется расчет процесса неизотермической вулканизации; знакомство с численными методами решения дифференциального уравнения теплопроводности, в частности, с конечно-разностными схемами; приобретение навыков использования теоретических основ для решения реальных технологических задач с использованием специализированного программного обеспечения. 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Общее уравнение одномерной нестационарной задачи теплопроводности имеет следующий вид [] t = x a x, () где температура; t время; x пространственная координата; a коэффициент температуропроводности. Уравнение () описывает медленное перераспределение температуры в одномерной среде, происходящее неволновым диффузионным образом через хаотическое неупорядоченное движение переносчиков тепла. Характерная особенность решения уравнения () заключается в том, что всякое неоднородное начальное распределение (x,t=0), x [0, L], не переносится вдоль x в виде волны, а постепенно "размазывается", так что происходит выравнивание распределения (x). При численном решении уравнения () строить непрерывные распределения нет возможности, поэтому приходится использовать конечно-разностную аппроксимацию, т.е. вычислять значения (x,t) в дискретных пространственно-временных узлах = x,t = Для аппроксимации первой производной по времени требуется использовать значения в двух или более различных моментах времени и +, и, как минимум, три значения -,, + для аппроксимации второй производной по пространственной координате. Соответственно, разностные схемы оказываются двух- (и более) слойными по времени и трех- (и более) слойными по координате. В зависимости от того на каком.
5 5 временном слое аппроксимируется правая часть уравнения (), различают явные и неявные схемы. Простейшая явная схема имеет вид + τ 2 + = a + h 2 (2) = 0. N; N = L/h; = 0. где τ и h шаги по времени и координате. Для удобства здесь представлена однородная пространственно - временная сетка τ = t + t = const, h = x + x = const для любых и. Если известно распределение на -м временном слое, то значение + в каждом -м узле определяется из (2) явным образом + = τa h τa h 2 + τa h 2. (3) Значения в узлах = и =N-, примыкающих к граничным, вычисляются с использованием граничных условий в точках =0 и =N. Схема (2) условно устойчива. Иначе говоря, при достаточно больших шагах интегрирования по времени τ, превышающих характерное диффузионное время t dff h 2 /D, за которое возмущение переносится на расстояние h диффузионным образом, численное решение начинает неограниченно расти, так что спустя конечное число шагов происходит переполнение и остановка расчета. Это явление называется численной неустойчивостью и связано с тем, что в схеме учитывается поступление информации в узел только от соседних узлов - и +, в то время как при τ > t dff информация должна поступать также и от более далеких узлов. Анализ устойчивости схемы (2) дает точную границу τa h 2 2. (4) В неявной схеме переменные на +-м временном слое задействованы в трех соседних узлах
6 6 + τ = a + h 2 (5) а потому явно выразить + через нельзя. Система алгебраических уравнений (5) относительно неизвестных + решается методом прогонки. Решение для + ищется в виде + = K + + L где K + и L + прогоночные коэффициенты. Прогонка начинается с узла =0. При этом из левого граничного условия определяются коэффициенты K и L. Подставляя (6) в систему (5), получают рекуррентные уравнения для определения K и L K = τa h 2, + +τa h 2 2 K al h 2 (7) +τ L =. + +τa 2 K h 2 Прогоняя "вперед" по формулам (7), начиная с первых K и L, находят все K и L вплоть до K N и L N. Правое граничное условие используют для того, чтобы начать прогонку "назад". Вычислив N + + до = и находят все., далее по формулам (6) прогоняют "назад" от =N- Неявная схема устойчива при любом шаге τ. Это связано с тем, что в уравнениях (5) переменные + самозацепляются. Если изменить значения в некотором узле (, ), то это приведет к тому, что изменятся значения на всем +-м временном слое, а не только в узлах (-, +) и (+, +), как в случае явной схемы. Информация в каждый узел сетки (6)
7 7 попадает не только от смежных узлов, но от всех узлов в целом, вне зависимости от величины шага τ, и потому ограничений на шаг интегрирования не возникает. При расчете процесса неизотермической вулканизации для реакции первого порядка [, 3] скорость процесса описывается уравнением dx dt K ( x ) =, (8) где x степень вулканизации; t время; K константа скорости процесса. Зависимость K от температуры описывается уравнением Аррениуса. Однако, на практике часто эту зависимость преобразуют к следующему виду ( ) = K exp 0 E R 0 K, (9) где K 0 константа скорости реакции первого порядка при температуре 0 ; 0 базовая(или эквивалентная) температура; E энергия активации процесса вулканизации; R универсальная газовая постоянная. Подставляя (9) в (8) получают интегральную зависимость степени вулканизации от температуры ln ( x) = lnq K exp E dt, (0) 0 R 0 где Q константа интегрирования, характеризующая продолжительность индукционного периода; функция изменения температуры во времени. Таким образом, подставляя в уравнение (0) значение температуры, вычисленное по формулам (3) или (6), можно определить степень вулканизации резиновой смеси в любой момент времени. 3. ХОД РАБОТЫ. Получить у преподавателя задание и подготовить исходные данные для расчета. 2. Найти и запустить программу termo.exe.
8 8 3. Определить или выбрать в моделируемом объекте точки для контроля температуры и степени вулканизации. 4. Задаться предполагаемым временем вулканизации и запустить расчет. Определить эпюру изменения температуры и степени вулканизации по глубине, зависимость их изменения от времени, оптимальное время вулканизации изделия. 5. Занести результаты работы в лабораторный журнал, построить необходимые графические зависимости. 4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. Понятие моделирования процесса вулканизации, как одного из этапов проектирования изделия. 2. Кинетические особенности изменения свойств полимерного материала в результате структурирования. 3. Особенности изменения температуры и степени структурирования крупногабаритного изделия в процессе вулканизации. 4. Определение оптимального времени вулканизации. 5. Выбор или определение контрольных точек в моделируемом объекте. 6. Преимущества и недостатки численных методов решения нестационарной задачи теплопроводности. 7. Экспериментальные методы определения нестационарного температурного поля и оптимального времени вулканизации крупногабаритных резинотехнических изделий. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. Лукомская А. И., Баденков П. Ф., Кеперша Л. М. Расчеты и прогнозирование режимов вулканизации резиновых изделий. М.: Химия, с. 2. Юдаев Б.Н. Техническая термодинамика. Теплопередача. М.: Высш. шк., с. 3. Гофманн В. Вулканизация и вулканизующие агенты. Л.: Химия, с. 4. Красовский В.Н., Воскресенский А.М., Харчевников В.М. Примеры и задачи по технологии переработки эластомеров. Л.: Химия, с. Составители: Иван Павлович ПЕТРЮК Алексей Николаевич ГАЙДАДИН Виктор Федорович КАБЛОВ Борис Павлович ПЕТРЮК
9 9 РАСЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СТЕПЕНИ ВУЛКАНИЗАЦИИ КРУПНОГАБАРИТНЫХ РЕЗИНОТЕХНИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ Методические указания к лабораторной работе Редактор Е. М. Богомазова Темплан 200 г., поз. 8 Подписано в печать Формат 60х84 /6. Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,46 Уч.-изд. л. 0,4 Тираж 00 экз. Заказ Волгоградский государственный технический университет 4003, Волгоград, пр. Ленина, 28 РПК «Политехник» Волгоградского государственного технического университета 4003, Волгоград, ул. Советская, 35