Является ли сила контравариантным вектором или ковариантным вектором (или тем и другим)?

Я не понимаю, имеет ли что-то физическое, например, скорость, единственную правильную классификацию либо как контравариантный вектор, либо как ковариантный вектор. Я видел тексты, указывающие на то, что смещения являются контравариантными векторами, а градиенты скалярных полей являются ковариантными векторами, но в «Руководстве для студентов по векторам и тензорам » Флейша я нашел это утверждение:

[I] Контравариантным или ковариантным является не сам вектор, а набор компонентов, которые вы формируете посредством его параллельных или перпендикулярных проекций. (стр. 121)

Если физические понятия могут быть представлены как любой тип математического объекта, я не понимаю, как смещение может быть представлено как ковектор. Не будут ли его компоненты трансформироваться неправильно, если изменить координаты?

Если ковариантность/контравариантность является частью определения физической концепции, я не понимаю, как классифицируется сила. Градиент потенциала будет иметь размеры длины в знаменателе, что делает его ковариантным вектором. Масса, умноженная на ускорение, имеет размерность длины в числителе, что делает его контравариантным.

Редактировать: я прочитал принятый ответ на Forces as One-Forms and Magnetism . Одного я не понимаю: может ли в релятивистском пространстве-времени любая векторная величина также быть представлена в виде 1 (потому что есть метрика) или ее классификация как 1-формы или вектора зависит от того, как изменяются его компоненты при преобразовании координат. . Разве смещение не должно быть вектором, а не формой 1?

и понял CuriousOne любопытный разум пользователь4552 CuriousOne

ЗакМакдарг

Я понимаю силу как 1-форму, исходя из следующих рассуждений. Учитывая независимый от времени консервативный лагранжиан л , его дифференциал (1-форма в чистом смысле) равен

Теперь, чтобы обратиться к вашему редактированию. Учитывая метрику, любой вектор можно записать в виде 1-формы. Учитывая, что многообразие, в котором вы находитесь, аффинно , вы можете записать смещения в виде векторов. Однако никто не записывает все 1-формы смещения. Вы, кажется, думаете, что это противоречит тому факту, что компоненты 1-форм преобразуются «ковариантно», а компоненты векторов «контравариантно». Как только вы используете метрику для «понижения индекса», вектор преобразуется в 1-форму. Скажем, мы идем от координат Икс → у . Метрика преобразуется как

физика души ЗакМакдарг ЗакМакдарг Джон Алексиу

Пустота

У меня есть ответ здесь, описывающий общую концепцию истинных физических векторов и тензоров, которые могут быть полезны. (Это также могут быть вещи, которые вы уже очень хорошо знаете.)

Получилось сверхдлинно, надеюсь, вы не умрете от старости, не дочитав до конца. По крайней мере, я добавил несколько полезных названий разделов, чтобы вы могли пропустить некоторые части. Вывод состоит в том, что для силы гораздо более правдоподобно быть ковектором (его компоненты ковариантны).

Ко(нтра)вариантный вектор или компоненты?

Итак, нам нужно, чтобы уравнения математической физики были истинными, а значит, они действительно инвариантны . Мы достигаем этого, постулируя такие объекты, как в → или а → . Тогда мы имеем уравнения такого типа:

Обратите внимание, что Флейш просто констатирует только что описанное. Объект инвариантен, компоненты трансформируются. Он не говорит, что вы можете получить и ковариантный, и контравариантный вариант, вы получите только один. (Затем вы можете использовать трюк с метрикой , чтобы изменить природу, но полученный объект не будет «первоначальным». Это также относится к вашему редактированию относительно относительности.)

Примечание о «векторе смещения»

Компоненты «вектора смещения» только случайно трансформируются как компоненты вектора в случае декартовых координат (и плоского пространства) и только тогда, когда смещение берется из начала координат. Попробуйте переместить начало координат или переключиться на полярные координаты или любую другую криволинейную систему координат. Его компоненты будут трансформироваться совсем иначе, чем, например, скорость.

Хорошо помнить, что для «истинного вектора» в смысле преобразования компонентов всегда должно быть что-то более «дифференциальное», чем «различие».

Так компоненты силы контравариантны или как?

Как указано, например, в ответе, указанном в верхней части этого поста, конечный эталонный «контравариантный» вектор — это скорость и ускорение второго производного брата. В классической физике мы определенно хотим, чтобы уже упомянутое уравнение Ф → знак равно м а → держать.

Таким образом, казалось бы, прямо сказать, что Ф → должен быть вектором с контравариантными компонентами, потому что уравнение должно быть инвариантным (контравариантным по компонентам), а правая часть является вектором. Но так ли это?

Есть две конвенции. Первый говорит м это просто число, так что Ф → должен быть вектором. Но вы можете видеть в ответе Зака Макдарга и других комментариях, что это может быть довольно аккуратное соглашение, чтобы на самом деле иметь силу быть ковектором. Иначе, как вы правильно заметили, пришлось бы использовать уже упомянутый трюк с метрикой для поднятия индексов градиента, определяющего силу и прочий ненужный хлам. Я собираюсь привести краткий аргумент в пользу дальнейшего изящества, разъясняя закон Ньютона с помощью так называемой матрицы масс .

Массовая матрица

Рассмотрим кинетическую энергию, она выглядит так

Другая забавная вещь заключается в том, что с несколькими частицами с различными ограничениями и с разными массами практично описывать их всех одним набором координат. д знак равно ( д 1 , … д Н ) . Вместо того, чтобы выписывать каждый член кинетической энергии, целесообразно выразить всю сумму через

Таким образом, даже если мы остановимся только на одной частице, кажется естественным определить «массовую матрицу» как М я Дж знак равно м г я Дж с участием г я Дж метрика ( дельта я Дж для скалярного произведения в декартовых координатах в плоском пространстве). Если мы настаиваем на том, что метрика или масса никогда не встречаются в динамических уравнениях по отдельности, мы уменьшаем один элемент нашей теории, не меняя ее физики. Бритва Оккама ! Это проще, так это должно быть сделано! (Пока мы не захотим измерять углы и расстояния в нединамическом контексте. )

Итак, массовая матрица имеет два нижних индекса и дважды ковариантна, как и метрика. Если мы затем свяжем его с вектором в одном индексе, мы получим, например

Так что с уравнением Ньютона и его ковариацией проблем нет. По этому аргументу гораздо естественнее определить силу как ковектор.

Примечание Фейншмекера: вы можете возразить, что концепция массовой матрицы не нужна для всей аргументации. Но я предполагаю, что мы не Ландау, и мы хотим найти элегантную форму закона Ньютона без произвольно размещенной метрики вместо того, чтобы «выводить» закон Ньютона из лагранжевой механики.

Helveticat

Есть два вида математических ситуаций, связанных с векторами и ковекторами. Они таковы:

В пространстве без скалярного произведения (точечный продукт) это очень разные сущности, и их никогда не следует путать.
В пространстве со скалярным произведением это одно и то же, рассматриваемое с двух точек зрения. Можно свободно преобразовать одну сущность в другую с помощью метрического тензора, имеет ли это смысл или нет.

Теперь, когда мы говорим о физике, мы находим много разных теорий с разными пространствами, некоторым дано скалярное произведение, а некоторым нет. Например, ( Икс , у , г ) пространство ньютоновской механики задается евклидовым скалярным произведением, а ( п , В ) пространство состояний некоторого количества газа не задано. Сила проявляется только во всех видах механики, будь то ньютоновская, лагранжева, СТО, ОТО, квантовая механика, механика квазичастиц в твердых телах и так далее. И вот мое скромное наблюдение:

Естественное определение силы используется только в тех механических теориях, где пространства заданы скалярным произведением. Это ньютоновская механика, СТО, ОТО, ньютоновская с ограничениями, некоторые случаи квантовой механики и тому подобное. В этих случаях вы можете свободно думать о силе как о векторе или ковекторе.

А в теориях без неявного скалярного произведения понятие силы используется в некотором абстрактном расширенном смысле (если вообще используется). К таким теориям относятся лаганжева и гамильтонова механика, более общие случаи квантовой механики, механика квазичастиц и тому подобное. В этих случаях прямо указывается, что означает термин сила , и часто понятие силы вообще не используется. Тогда вы просто следуете определениям конкретной книги и не думаете об этих силах, как об обычных силах в повседневной жизни. [Обычно сила мыслится как ковектор, а ускорение связано с ним с тензорной массой, ф а знак равно м а б ж б .]

В. Семерия

Я бы сказал, что сила является контравариантным вектором. Рассмотрим камень, падающий под действием силы тяжести Земли. Гравитационный потенциал mgz горизонтален, а его дифференциал представляет собой 1-форму, ядром которой является горизонтальная плоскость.

Но камень падает вертикально, что является излюбленным направлением за пределами ядра 1-формы. 1-форма не имеет такого понятия предпочтительного направления вне своего ядра. Здесь в дело вступает скалярное произведение, определяющее перпендикулярное направление падения камня.

Таким образом, вы либо соглашаетесь с тем, что 1-форма задает скалярному произведению перпендикулярное направление каждый раз, когда оно приводит тело в движение, либо что сила уже является контравариантным вектором с определенным направлением движения.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎