Сборник задач по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
2 Ряд Лорана Ряд вида n= c n (z a) n, () где a фиксированная точка комплексной плоскости, c n заданные комплексные числа, называется рядом Лорана. Этот ряд называется сходящимся в точке z, если в этой точке сходятся ряды c n (z a) n, () n= c n (z a) n = n= c n (z a) n, (3) и сумма ряда () по определению равна сумме рядов () и (3). Ряд () является степенным рядом, и, следовательно, его областью сходимости является круг z a < R (при R = 0 ряд () сходится только в точке a, а при R = во всей комплексной плоскости). Полагая в (3) /(z a) = t, получаем степенной ряд c n t n, область сходимости которого есть круг n= t < α. Следовательно, ряд (3) сходится в области z a > ρ, где ρ = /α. Если выполняется условие ρ < R, (4) то ряд () сходится в области ρ < z a < R, (5) т. е. в кольце с центром в точке a. В каждой точке, лежащей вне замкнутого кольца (5), ряд Лорана () расходится в силу расходимости одного из рядов () (3). В точках, лежащих на границе кольца (5), ряд () может как сходиться, так и расходиться. Если ρ > R, то ряды () и (3) не имеют общей области сходимости и, следовательно, ряд () нигде не сходится. Теорема. Функция f(z), голоморфная в кольце D: ρ < z a < R, представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана f(z) = c n (z a) n, где (6) n=
3 ρ < R 0 < R, n = 0, ±, ±. c n = πi ζ a =R 0 f(ζ) (ζ a) n+dζ, (7) Пусть функция голоморфна в кольце K : 0 < z a < ρ. Тогда эту функцию можно разложить в ряд Лорана f(z) = n= c n (z a) n, (8) сходящийся в кольце K. Ряд (8) называется рядом Лорана для функции f(z) в окрестности точки a, а ряды c n f (z) = (z a) n, f (z) = n= c n (z a) n называются соответственно главной частью и правильной частью ряда (8). Пусть функция f(z) представляется в окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. в области R < z a <, сходящимся рядом f(z) = n= c n z n. (9) Ряд (9) называется рядом Лорана для функции f(z) в окрестности бесконечно удаленной точки, а ряды f (z) = f (z) = c 0 + c n z n, n= c n z n называются соответственно главной частью и правильной частью ряда (9). n= Пример. Найдем разложение в ряд Лорана функции f(z) = e z cos z 3
4 в точке z = 0. f(z) = ez cos z = ez e e eiz + e iz = ez(i+) + e z(i+) = e = (i + ) n z n + ( ) n (i + ) n z n = e n! e n! = (i + ) n z n, e (n)! где последнее равенство было получено в следствии того, что нечетные степени при сложении рядов сократились, а четные удвоились. Отметим, что данное разложение возможно при z(i + ) <, откуда z <. Пример. Найдем разложение функции f(z) = ln z a z b в ряд Лорана в точке z =. Положим z = ( Z и f(z) = f Z Найдем разложение функции F (Z) в точке Z = 0: F (Z) = ln Z a az = ln Z b bz = = ln(az ) ln(bz ) = (az) n (bz) n = + = n n n= n= b n a n Z n, n n= ) = F (Z). где az < и bz <. Переходя к z, получим разложении функции f(z) в ряд Лорана в бесконечно удаленной точке b n a n f(z) =, nz n n= где z > a и z > b или, объединяя последние условия, z > max< a, b >. Пример 3. Функция f(z) = z ( z a + ) a 4, a <, +
5 голоморфна в кольце a < z < / a. Значит, представляется в этом кольце рядом Лорана. Для получения лорановского разложения представим эту функцию в виде: f(z) = az a. z В кольце a < z < / a слагаемые представляются такими геометрическими прогрессиями: n= az = n= a n z n, сходится при z < a ; a = a n z n, сходится при z > a. n= z Поэтому в a < z < / a функция f(z) представляется рядом ( f(z) = a n z n ). z n Пример 4. Выясним, допускает ли функция f(z) = ctg z z + разложения в ряд Лорана в окрестности точки z =. Голоморфность функция f(z) нарушается в точках Откуда z z + = πk, k = 0, ±, ±. z k = πk πk. Так как z = является предельной точкой для особых точек z k πk ( lim k πk = lim = ), то не существует такого радиуса ρ, k πk что в кольце K : 0 < z + < ρ функция f(z) будет голоморфна. Следовательно, функцию f(z) нельзя разложить в ряд Лорана в окрестности точки z =. В задачах данную функцию разложить в ряд Лорана либо в указанном кольце, либо в окрестности указанной точки. В последнем случае надлежит определить область, в которой разложение имеет место. 5
6 . в окрестности точек z = 0 и z =. z. (a 0, k натуральное число) в окрестности точек z = 0 и (z a) k z =. 3. в окрестности точек z = 0, z =, z =. z( z) 4. (0 < a < b ) в окрестности точек z = 0, z = a, z = (z a)(z b) и в кольце a < z < b. z z в окрестности точки z = и в кольце < z <. (z )(z + ) 6. в окрестности точек z = i и z =. (z + ) 7. z e z в окрестности точек z = 0 и z =. 8. e z в окрестности точек z = и z =. 9. cos z 4z в окрестности точки z =. (z ) 0. z sin в окрестности точки z =. z. e z+ z в области 0 < z <.. sin z sin в области 0 < z <. z z 3. sin в окрестности точек z = и z = (в последнем случае z ограничиться четырьмя первыми членами ряда). 4. Выяснить, допускают ли указанные функции разложение в ряд Лорана в окрестности данной точки: ) cos z, z = 0; 4) ctg z, z = ; ) cos z, z = ; 5) th z, z = 0; 3) sec ; 6) z, z = z sin, z = 0. z 6
7 Особые точки однозначных аналитических функций Пусть функция f(z) голоморфна в кольце 0 < z a < ρ, но не голоморфна в точке a (a ). Тогда точка a называется изолированной особой точкой для функции f(z). Аналогично, бесконечно удаленная точка a = называется изолированной особой точкой для функции f(z), если функция f(z) голоморфна в области ρ < z <. В зависимости от поведения функции f(z) вблизи точки a различают следующие три типа особых точек. Изолированная особая точка a функции f(z) называется а) устранимой особой точкой, если lim z a f(z) существует и конечен; б) полюсом, если lim z a f(z) = в) существенно особой точкой, если lim z a f(z) не существует. Пример 5. Для функции f(z) = tg z z точка z = 0 является устранимой особой точкой, так как функция f(z) голоморфна при z 0 и tg z lim z 0 z = lim z 0 = lim z 0 sin z z cos z = lim z 0 z 3! + z4 5. cos z z z3 3! + z5 5. z cos z =. Если доопределить функцию f(z), положив f(0) =, то она будет голоморфной и в точке z = 0. Пример 6. Найдем особенности функции f(z) = Функция имеет особенность, когда sin z + cos z. sin z + cos z = 0 7 =
8 z π 4 = π cos (z π 4 ) = 0 + kπ, k = 0, ±, ±. z k = 3π 4 + kπ. Точки z k являются полюсами функции f(z), так как функция голоморфна в проколотых окрестностях точек z k и lim f(z) =. z zk В точке z = функция f(z) имеет неизолированную особенность, так как полюса z k накапливаются в бесконечности, lim z k =. k Пример 7. Функция f(z) = e sin z имеет точки z k = πk, k = 0, ±, ±. своими существенно особыми точками, так как lim e sin z не существует z zk lim e sin z = 0, lim e sin z = y=0 y=0 x x k 0 x x k +0. Точка z = является предельной для существенно особых. Здесь функция имеет неизолированную особенность. Характер изолированной особой точки z = a тесно связан с характером лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки. Для конечных точек a эта связь выражается следующими тремя теоремами: Теорема. (устранимая особенность) Для того чтобы изолированная особая точка a была устранимой особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности точки a была тождественным нулем. Теорема 3. (полюс) Для того чтобы изолированная особая точка a была полюсом для функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности точки a содержала лишь конечное число членов. Теорема 4. (существенная особенность) Для того чтобы изолированная особая точка a была существенно особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности точки a содержала бесконечное число членов. 8
9 Отметим один факт о связи полюсов с нулями. Точка a является полюсом функции f(z) в том и только том случае, если функция g(z) = /f(z), g 0, голоморфна в окрестности a и g(a) = 0. Установленная связь позволяет сформулировать определение порядка полюса: порядком полюса a функции f(z) называется порядок нуля a функции g(z) = f(z). Пример 8. Функция g(z) = sin z z имеет в точке z = 0 нуль третьего порядка. В самом деле, имеем g(0) = g (0) = g (0) = 0, но g (0) 0. Следовательно, функция f(z) = g(z) = имеет в точке z = 0 sin z z полюс третьего порядка. Теорема 5. (полюс порядка m) Для того чтобы точка a была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы эта функция представлялась в виде f(z) = (z a) m ψ(z), ψ(a) 0, (0) где ψ(z) функция, голоморфная в точке a, m порядок полюса a функции f(z). Точка z = является полюсом функции f(z) тогда и только тогда, когда f(z) = z m h(z), h( ) 0, () где h(z) функция, голоморфная в точке z =, m порядок полюса z = функции f(z). Пример 9. Для функции f(z) = z sin z точка z = 0 является полюсом второго порядка. Действительно, функция f(z) = = z sin z = ) = z (z z3 3! + z5 5. ( ) = z ψ(z), z z 3! + z4 5. где ψ(z) = ) ( z 3! + z4 5. голоморфна в точке z = 0. 9
10 Поведение функции на бесконечности Рассмотрим поведение функции на бесконечности. Пусть функция f(z) голоморфна в некоторой окрестности R < z < бесконечно удаленной точки. Положим z = Z и f(z) = f ( ) = F (Z), Z где F (Z) голоморфна в окрестности 0 < Z < точки Z = 0. Характеры R особенностей f(z) при z и F (Z) при Z 0 совпадают (так как lim f(z) = lim F (Z)). Следовательно, классификация и теоремы () (4) z Z 0 переносятся на случай бесконечно удаленной точки. Тогда, если бесконечно удаленная точка является устранимой особой точкой, имеем: f(z) = F (Z) = c n Z n = c 0 + c Z + c Z + = = c 0 + c z + c В случае полюса порядка m имеем: f(z) = F (Z) = z + = c n z n. c m Z + c m+ m Z + + c m Z + = c m z m + c m z m + + c z + c nz n = (здесь c n = c n) и, наконец, в случае существенной особенности f(z) = F (Z) = (и здесь c n = c n). c n Z + c nz n = n n= Пример 0. Многочлен степени n c n z n + n= f(z) = a n z n + a n z n + + a 0, где a n 0, имеет в бесконечности полюс n-го порядка (его ряд Лорана в бесконечно удаленной точке содержит конечное число положительных степеней). 0 c n z n c n z n
11 Пример. Известные разложения функций e z = z n n! ch z = z n (n)! sh z = z n+ (n + )! cos z = ( ) n (n)! zn sin z = ( ) n (n + )! zn+ можно рассмотреть так же, как лорановское разложение в окрестности z =. Так как все эти разложения содержат бесчисленное множество положительных степеней, то перечисленные функции имеют в точке z = существенную особенность. Пример. Функция f(z) = e z имеет в бесконечности устранимую особенность, так как ее лорановское разложение в окрестности z = не содержит положительных степеней: F (Z) = f ( ) = e Z = z Z n n! = n!z n. Если положить f( ) = lim f(z), то есть f( ) =, тогда f(z) будет z голоморфна в бесконечности. Пример 3. Функция f(z) = имеет в бесконечности неизолированную особенность, так как полюсы z k = kπ этой функции накапливаются в sin бесконечности ( lim z k = ). k В задачах 5 50 найти особые точки функций, выяснить их характер и исследовать поведение функции на бесконечности.
12 z z z 4 + z 4. z 5 ( z). 8. z(z + 4). e z + z. 0. z +. e z. ze z e z e z z.. z( e z ) ez 4. + e. z. z 3 ( cos z) 6. th z. 7. e z. 8. ze z. 9. e z z. 30. e z z. 3. e z e z. 3. sin z. 33. cos z. 34. tg z. z 35. tg z. 36. ctg z z. 37. ctg z z. 38. ctg z z. 39. sin z sin a. 40. cos z + cos a.
13 4. sin z. 4. z 7 (z 4) cos. z 43. ctg z. 44. ctg z z. 45. sin z + z. 46. e z cos z. 47. e ctg z. 48. e tg z. ( ) ( 49. sin sin. 50. sin z cos z 5. Пусть P n (z) и Q m (z) многочлены, соответственно n-й и m-й степеней. Охарактеризовать поведение на бесконечности следующих функций: ) P n (z) + Q m (z); ) P n(z) Q m (z) ; 3) P n(z)q m (z). 5. Построить примеры функций, имеющих в расширенной плоскости только следующие особенности: ) полюс второго порядка на бесконечности; ) полюс второго порядка в точке z = 0 с главной частью разложения c z и простой полюс на бесконечности; 3) простые полюсы в точках z k = ω k, где ω = e πi/n (k = 0. n ). 53. Найти общий вид функции, имеющей в расширенной плоскости только следующие особенности: ) один простой полюс; ) один полюс порядка n; 3) полюс второго порядка в точке z = 0 с главной частью разложения z ; 4) полюс порядка n в точке z = 0 и полюс порядка m на бесконечности; 5) n полюсов первого порядка. 54. Пусть f(z) однозначная функция, не имеющая в области G f (z) других особенностей, кроме полюсов. Доказать, что функция f(z) A (логарифмическая производная функции f(z) A) имеет простые полюсы во всех полюсах функции f(z) и во всех A-точках этой функции и не имеет никаких других особых точек. 3 ).
14 55. Теорема Сохоцкого утверждает, что, если точка z 0 является существенно особой для функции f(z), то, каково бы ни было комплексное число A (включая A = ), существует такая последовательность точек , сходящаяся к точке z 0, что lim f(z n ) = A. Доказать, что теорема Сохоцкого остается справедливой для неизолированной особой точки, являющейся n предельной для полюсов. (Предполагается, что в окрестности рассматриваемой точки полюсы являются единственными особенностями.) 56. Найти пределы: sin z ; 3) ch z ) lim y ± ctg z; ) lim lim ; 4) lim y ± x ± x=0 sin. y 0 z Не противоречит ли существование этих пределов теореме Сохоцкого? 3 Вычисление вычетов Пусть функция f(z) голоморфна в проколотой окрестности точки a (a ), т. е. в кольце K : 0 < z a < ρ 0. Тогда точка a является для функции либо изолированной особой точкой, либо точкой голоморфности, а функция f(z) представляется в кольце K сходящимся рядом Лорана f(z) = n= c n (z a) n. Вычетом функции f(z) в точке a (обозначается res f(z)) называется c коэффициент разложения f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z=a a: res f(z) = c. () z=a Очевидно, что в точке голоморфности вычет равен нулю. Пример 4. Функция f(z) = e a ( z ) z, где a комплексная постоянная, имеет в точке z = 0 существенную особенность. Имеем: ( ) ( f(z) = e az e a ( a ) ) z = z n ( ) m ( a ), n! m! z m m=0 4
15 откуда находим коэффициент c при z : res f(z) = c = a z=0 + ( a ) 3 ( a ) 5 +!!3! + ( a ) 7 = 3!4! ( ) n ( a ) n+ =. n!(n + )! Если z = a полюс I порядка функции f(z), тогда res z=a f(z) = lim(z a)f(z) (3) z a В частности, если f(z) = ϕ(z), где ϕ(z) и ψ(z) голоморфные в точке ψ(z) a функции, причем ϕ(a) 0, ψ(a) = 0, ψ (a) 0, то точка a является простым полюсом функции f(z), и по формуле (3) находим (z a)ϕ(z) res f(z) = lim z=a z a ψ(z) res z=a = lim z a ϕ(z) ψ(z) ψ(a) z a = ϕ(a) ψ (a), т.е. ϕ(z) ψ(z) = ϕ(a) ψ (a). (4) Если z = a полюс порядка m функции f(z), тогда res f(z) = z=a (m )! lim d m z a dz [(z m a)m f(z)] (5) Пример 5. Функция f(z) = sin z имеет полюс второго порядка в точке z 0 = 0 и полюсы первого порядка в точках z k = ± kπ, k = ±, ±. В самом деле, пусть g(z) = f(z) = sin z, тогда g(z k ) = 0, g (z k ) = z k cos z k 0 при k 0 и g (z 0 ) = 0, g (z 0 ) 0. То есть точка z 0 есть нуль порядка два функции g(z), а точки z k 5
16 нули порядка один функции g(z). Вычеты в точках z k, k 0, определяются по формуле (4): res = z=z k g (z k ) = z k cos zk = ( )k z k, а вычет в точке z 0 = 0 по формуле (5): ( ) d z z sin z z 3 cos z 3 res f(z) = lim = lim z=0 z 0 dz sin z z 0 sin = z ) ) z (z z6 3! +. z ( 3 z4! +. = lim z 0 ) = (z z6 3! +. = lim z 0 3 z z = 0. Вычетом функции f(z) в точке z = (обозначается res f(z)) называ- z= ется число c, где c коэффициент при ряда Лорана в окрестности z бесконечно удаленной точки, т. е. res = c. (6) z= Пусть точка z = является нулем порядка k функции f(z). Тогда в окрестности бесконечно удаленной точки функция f(z) представляется рядом Лорана f(z) = c k z k + c (k+) z k+ +. где c k 0, и при z имеет место асимптотическая формула f(z) A z k, A = c k 0. Если k =, то res f(z) = c = A, а если k, то res f(z) = 0. z= z= 6
17 Справедливы формулы для вычисления вычета в бесконечно удаленной точке функции f(z) в случае f( ) = 0: f(z) A z при z res f(z) = A, (7) z= f(z) A при z, k res f(z) = 0. (8) z k z= Пример 6. Вычет функции f(z) = cos z sin z в точке z = равен нулю, так как разложение в ряд Лорана f(z) имеет только положительные степени, то есть c = 0: f(z) = z! + z4 4! z + z3 3! z5 5! + = = z z! + z3 3! + z4 4. В задачах требуется найти вычеты указанных функций относительно всех изолированных особых точек и относительно бесконечно удаленной точки (если она не является предельной точкой для особых точек). 57. z 3 z z (z + ). z n 59. (n натуральное число). ( + z) n 60. z( z ). 6. z + z z (z ). sin z 6. (z + ) e z z (z + 9). 64. tg z. 65. sin z. 66. ctg z. 67. ctg 3 z. 68. ) cos z ; ) z3 cos z. 69. e z+ z. 70. sin z sin z. z 7. sin z cos z + 4z. z + 3 7
18 73. z( e hz ) (h 0). 74. z n sin (n целое число). z 75. sin. z 76. Разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид f(z) = c 0 + c Найти res z z= . 77. Найти res [ϕ(z)f(z)], если ϕ(z) аналитична в точке a, а f(z) имеет z=a в этой точке: ) простой полюс с вычетом A; ) полюс порядка k с главной частью c z a + + f (z) 78. Найти res z=a f(z), если: ) a нуль порядка n функции f(z); ) a полюс порядка n функции f(z). 79. Найти res z=a [ ϕ(z) f (z) f(z) ) a нуль порядка n функции f(z); ) a полюс порядка n функции f(z). c k (z a) k. ], если ϕ(z) аналитична в точке a и: 80. Найти res z=a f( ϕ(z) ), если функция ϕ(z) аналитична в точке a и ϕ (a) 0, а функция f(ζ) имеет полюс -го порядка в точке ζ = ϕ(a) с вычетом A. 8. Функция ϕ(z) имеет в точке a полюс -го порядка с вычетом A, а f(ζ) имеет в бесконечности полюс -го порядка с главной частью Bζ. Найти res z=a f( ϕ(z) ). 4 Вычисление интегралов Непосредственное применение теоремы о вычетах Теорема 6. (теорема о вычетах) Пусть D область с кусочно гладкой границей расширенной комплексной плоскости, функция f(z) голоморфна в D, за исключением конечного числа особых точек a. a n, и непрерывна вплоть до границы D. Тогда 8
19 . если область D не содержит точку z =, то D f(z)dz = πi n k= res f(z); (9) z=a k. если точка z = принадлежит области D, то ( n ) f(z)dz = πi res f(z) + res f(z). (0) z=a k z= D k= Теорема 7. (теорема о полной сумме вычетов) Пусть функция f(z) голоморфна во всей расширенной комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых точек. Тогда сумма всех вычетов функции f(z), включая вычет в точке z =, равна нулю, т.е. n k= res f(z) + res z=a k z= f(z) = 0. () Здесь a k (k =. n) все конечные особые точки функции f(z), а точка z = является либо особой точкой, либо точкой голоморфности функции f(z). Пример 7. Пусть f(z) = cos z, а область D представляет собой круг z(z + 3) z <. Тогда по формуле (9) I = f(z)dz = πi res f(z), z=0 z = так как в круге z < функция f(z) имеет одну особую точку z = 0 (полюс первого порядка). По формуле (4) res f(z) = res z=0 z=0 cos z [z + 3z] = res z=0 cos z z + 3 = 3. Следовательно, I = πi 3. Пример 8. Рассмотрим интеграл I = z =4 z 5 (z + ) (z 4 + ) 3. 9
20 Вычисление вычетов в конечных особых точках подынтегральной функции f(z) весьма затруднительно, поэтому, пользуясь формулой, мы можем записать: I = πi res z= f(z). Рассмотрим поведение подынтегральной функции f(z) на бесконечности. При z имеем: z 5 (z + ) (z 4 + ) 3 z5 z 4 z = z. По формуле (7) на стр. 7 res f(z) = и, следовательно, I = πi. z= В задачах 3 6 вычислить интегралы, считая, что обход замкнутых контуров происходит в положительном направлении. dz 8. C z 4 +, где C окружность x + y = x. z dz 83. C (z )(z ), где C окружность z =. dz 84., где C окружность z =. C (z 3)(z 5 ) Указание. Воспользоваться тем, что сумма вычетов относительно всех особых точек (включая бесконечно удаленную) равна нулю. z 3 dz 85., где C окружность z =. C z 4 + e z 86. dz, где C окружность z =. C z (z 9) 87. sin dz, где C окружность z = r. πi C z 88. sin dz, где C окружность z = r. πi C z 89. z n e z dz, где n целое число, а C окружность z = r. πi C ( ) 90. ( + z + z ) e z + e z + e z dz. 9. z =3 z =5 z dz sin z( cos z). 0
21 9. Вычислить интеграл f(z) dz, если C простой замкнутый πi C zg(z) контур, ограничивающий область G, содержащую точку z = 0. Функции f(z) и g(z) аналитичны в замкнутой области G, причем функция g(z) не обращается в нуль на контуре C и имеет в области G лишь простые нули a, a. a n, ни один из которых не совпадает с началом координат. 0 Определенные интегралы. Пусть R(u, v) рациональная функция от u, v. Тогда π R(sin ϕ, cos ϕ)dϕ = π z res a k z R z, i a k < z + z, () где суммирование идет по особым точкам, попавшим внутрь единичного круга;. Для рациональной функции R(x) R(x)dx = πi Im a k >0 res a k R(z), (3) где суммирование идет по всем особым точкам, лежащим в верхней полуплоскости; 3. Пусть R(x) рациональная функция. Если α > 0, то e iαx R(x)dx = πi Im a k >0 res a k e iαz R(z), (4) где суммирование идет по всем особым точкам, лежащим в верхней полуплоскости. Если же α < 0, то e iαx R(x)dx = πi Im a k <0 res a k e iαz R(z), (5) где суммирование идет по всем особым точкам, лежащим в нижней полуплоскости. Если функция R(x) действительна при любых x и α > 0, то, отделяя в формуле (4) мнимую и действительную части, получаем [ ( R(x) cos αxdx = πim res e iαz R(z) ) ], (6) z=a k Ima k >0
22 R(x) sin αxdx = πre Пример 9. Вычислим интеграл I = π Воспользуемся формулой (). z R(z) = z 4z + z = [ Ima k >0 dϕ 4 cos ϕ + 5. ( res e iαz R(z) ) ]. (7) z=a k z + 5z + = (z +. )(z + ) Тогда, учитывая, что из особых точек в единичный круг попадает лишь z = / (полюс первого порядка), I = π res z= (z + )(z + ) = = π lim z z + (z + )(z + ) = π 3. Пример 0. Для вычисления интеграла I = 0 dx (x + a ) 3 мы выберем контур интегрирования L, состоящий из отрезка ( R, R) действительной оси и верхней полуокружности z = R, и рассмотрим функцию f(z) = (z + a ) 3. Внутри L при R > a лежит один ее полюс z 0 = ai третьего порядка с вычетом res f(z) = z=ai! lim d ( ) (z ai) 3 = z ai dz (z + a ) 3 [ d ] = = 34 dz (z + ai) 3 z=ai (ai) = 3 5 6ia 5.
23 По теореме о вычетах L f(z)dz = R R f(x)dx + C R f(z)dz = πi res z=ai 3π f(z) = 8a5, (8) где C R верхняя полуокружность z = R, Imz > 0. При достаточно больших R f(z)dz C R R max 6 z =R + a 3 πr c R 5, z где c некоторая константа (при достаточно больших R + a 3 z сколь угодно близко к ). Отсюда следует, что lim f(z)dz = 0 R C R и из (3) в пределе при R получаем значение искомого интеграла I = f(x)dx = dx (x + a ) = 3π 3 8a 5. Пример. Вычислим интеграл I = x cos x (x 3)(x ) dx. Воспользуемся формулой (6). Здесь R(z) = a = 3, Отсюда, π ze iz res R(z) = lim z= z z 3 = ei, ze iz res R(z) = lim z=3 z 3 z = 3e3i. I = πim[3e 3i e i ] = π( sin 3 sin 3). dϕ 93. (a > ). 0 a + cos ϕ Указание. Положить e iϕ = z. 3 z (z 3)(z ), α =, a =,
24 π 0 π 0 π 0 π 0 π 0 π 0 π 0 dϕ (a + b cos ϕ) (a > b > 0). dϕ (a + b cos ϕ) (a > 0, b > 0). dϕ a cos ϕ + a (a комплексное число и a ±). cos 3ϕ dϕ a cos ϕ + a (a комплексное число и a ±). e cos ϕ cos(nϕ sin ϕ) dϕ (n целое число). tg(x + ia) dx (a действительное число). ctg(x + a) dx (a комплексное число и Im a 0). В задачах 0 07 вычислить интегралы с бесконечными пределами. x dx 0. (x + 4x + 3) x dx (x + a ) (a > 0). dx (n натуральное число). (x + ) n dx (a > 0, b > 0). (x + a )(x + b ) x + x 4 + dx. dx + x 06. (n натуральное число). n 0 Указание. Рассмотреть интеграл из лучей arg z = π n x n C dz + zn, где C контур, состоящий и соединяющей их дуги окружности. 07. dx (n ). 0 + xn Примечание. Метод вычисления интегралов из задач 06 и 07 переносится на интегралы от рациональных функций вида R(x n ). 4
25 В задачах 08, пользуясь леммой Жордана, вычислить указанные интегралы. x cos x dx 08. ) x x + 0 ; ) x sin x dx x x x sin x dx x + 4x + 0. cos ax dx (a и b положительные числа). x + b x sin ax dx (a и b положительные числа). x + b В задачах 0 вычислить указанные интегралы. dx. (0 < p < ). x p (x + ) x p dx + x ( < p < ). x p dx ( + x ) ( < p < 3). x p dx x + x cos λ + x p ( x) p 6. dx ( < p < ). 0 ( + x) 3 Указание. Рассмотреть ( < p <, π < λ < π). z p ( z) p dz, где C контур, состоящий C ( + z) 3 из окружности радиуса R с центром в начале координат, окружностей достаточно малого радиуса с центрами в точках 0 и и соединяющего их отрезка. Перейти к пределу при R. x p ( x) p 7. dx ( < p < ). 0 + x z Указание. Доказать, что lim R CR p ( z) p dz = πie pπi, где C + z R обходимая в положительном направлении окружность z = R x p ( x) p dx ( < p < ). ( + x) ( ) p x dx x x + a ( < p <, a > 0). 5
26 0. 0 ( ) p x dx ( < p <, a > 0). x (x + a) 5 Разложение в ряды простых дробей В качестве приложения теории вычетов рассмотрим вопрос о разложении мероморфной функции на простые дроби. Мероморфная функция определяется следующим образом. Функция f(z) называется мероморфной, если она голоморфна в каждой ограниченной части плоскости, за исключением, быть может, конечного числа полюсов. Во всей комплексной плоскости число полюсов мероморфной функции может быть и бесконечным (например, tg z, ctg z, e ). z Допустим теперь, что существует последовательность замкнутых контуров , удовлетворяющих следующим условиям: ) каждый контур C m содержится внутри контура C m+ ; ) минимальное расстояние от контура C m до начала координат (обозначим его через R m ) неограниченно возрастает при m R m = inf z C m z, lim m R m = ; 3) отношение длины L m контура C m к R m остается ограниченным L m R m C. Такую систему контуров называют правильной. Приведем пример. Пример. Система окружностей C m : z = π + πn удовлетворяет свойствам: ) C m C m+, так как π + π(m + ) = π + πm + π < π + πm; ) R m = π + πm, lim m R m = ; 3) L m = π( π + πm), L m R m = π π; и является правильной системой контуров. 6
27 В условиях существования такой последовательности замкнутых контуров задачу о разложении мероморфной функции в ряд простых дробей решает следующая теорема. Теорема 8. Пусть f(z) мероморфная функция с простыми полюсами в точках a, a. a n. причем 0 < a a. lim a n =. n Обозначим через A n вычет функции f(z) относительно полюса a n (n =. ). Если функция f(z) ограничена на всех контурах C m, то есть f(z) M, z C m, m =. то f(z) = f(0) + k= ( A k + ). (9) z a k a k Пример 3. Мероморфная функция f(z) = ctg z = i eiz + e iz e iz e iz имеет полюсы первого порядка в точках z = 0, ±πi, ±πi. Покажем, что на правильной системе контуров C m : z = π +πn эта функция ограничена. В силу периодичности функции достаточно доказать ее ограниченность в полосе 0 < Rez < π с исключенными полукругами z π < r, z < r. Имеем: ctg z e y + e y e y e y. Следовательно, при y > / а при y < / ctg z + e y + e < e y e, ctg z + ey + e < ey e. В той части области, где y, ctg z ограничен в силу свойств непрерывных функций в замкнутых областях. Таким образом, ctg z ограничен во всей области. Следовательно, существует постоянная M такая, что для всех точек z плоскости с исключенными кружками z z k < r ctg z M, то есть ctg z M, z C m, m =. 7
28 Следовательно, к функции ctg z применима теорема (8). (Чтобы избавиться от особенности в нуле, следует рассмотреть функцию ctg z z с устранимой особенность в нуле. Суммирование рядов. Задачу о суммировании рядов мероморфных функций решает следующая теорема. Теорема 9. Пусть f(z) мероморфная функция, имеющая конечное число полюсов a, a. a m, отличных от целых чисел. Если существует последовательность контуров , стягивающихся к бесконечно удаленной точке, причем lim f(z) ctg πzdz = 0, (30) n C n то n= f(n) = π m k= Если условие (30) заменено условием то n= lim n res [f(z) ctg πz]. (3) z=a k f(z)dz C n sin πz = 0, ( ) n f(n) = π m k= res z=a k f(z) sin πz. (3) Следствие. Пусть f(z) рациональная функция с полюсами a, a. a m, отличными от целых чисел и пусть степень числителя f(z) ниже степени ее знаменателя не меньше, чем на две единицы. Тогда условия приведенной выше теоремы выполнены и справедливы формулы (3) и (3). В задачах 8 доказать справедливость разложений.. ctg z = z + z z n π.. n= sin z = z + n= ( ) n z z n π. 8
29 3. tg z = z [ ]. n= (n )π z 4. cos z = π ( ) n (n ) [ ]. n= (n )π z 5. th z = z [ ]. n= (n )π z + 6. sh z = z + ( ) n z z + n π n= z e z = z + sin z = n= n= (z nπ). z z + 4n π. В задачах 9-34 найти суммы рядов, предполагая число a таким, что ни один из знаменателей не обращается в нуль. 9. n= (a + n). 30. ( ) n n= (a + n). 3. (n + ). 3. n + a. 33. ( ) n n + a. 34. ( ) n (n + ) 3. 6 Аналитическое продолжение Основной задачей аналитического продолжения является продолжение значений функции f(z), заданной в некоторой области D, на большую область D. Пусть на комплексной плоскости даны две области D и D, имеющие общую часть (если D и D имеют несколько таких частей, как и на рисунке, б, то рассмотрим одну из них). При этом могут быть различные случаи. Например, а) область D содержится в области D, тогда совпадает с областью D ; б) пересечение является односвязной или многосвязной областью; в) пересечение состоит из нескольких (может быть, 9
30 и бесконечного числа) отдельных связных областей. Пусть голоморфные функции f (z) и f (z) заданы соответственно в областях D и D. Если значения f (z) и f (z) тождественно совпадают между собой в пересечении, то f (z) называют аналитическим продолжением функции f (z) на область D через область. Аналогично, f (z) - аналитическое продолжение функции f (z) на область D. Как легко видеть, аналитическое продолжение функции f (z) в область D определено единственным образом. Действительно, предположение о существовании в области D двух различных функций, тождественно совпадающих с f (z) в области, приводит к противоречию с теоремой единственности определения голоморфной функции. Однако, если D и D имеют несколько общих частей, то, рассматривая продолжение f (z) через часть, отличную от, мы можем получить в результате продолжения функцию, отличную от f (z). Задачу аналитического продолжения можно решать различными путями. Приведем Пример 4. Функция sin z задана в области C\ (она не определена z при z = 0). Написав ее разложение в ряд по степеням z sin z z = z 3! + z4 5. мы при его помощи получили продолжение этой функции на всю плоскость C (такое продолжение равносильно доопределению в точке z = 0 по непрерывности). 35. Функция f(z) = z n разложена в ряд Тейлора в окрестности точки z = a ( a < ). При каких значениях a это разложение позволяет аналитически продолжить функцию f(z)? 36. Сумма степенного ряда f(z) = z n разложена в ряд Тейлора в n окрестности точки z =. Какова область, в которую будет таким образом продолжена функция f(z)? 37. Доказать, что функция f(z) = ( ) n+zn может быть продолжена на б ольшую область посредством n= n ряда n= ln z ( z) ( z)
31 38. Степенные ряды f (z) = n= z n n и f (z) = iπ + ( ) n+(z )n n n= не имеют никакой общей области сходимости. Доказать, тем не менее, что функции f (z) и f (z) являются аналитическим продолжением друг друга. 39. Доказать, что функции, определенные рядами + az + a z +. и z ( a)z ( z) + ( a) z ( z) 3. являются аналитическим продолжением друг друга. 40. Доказать, что степенной ряд f(z) = z n представляет функцию, аналитическую в круге z < и имеющую окружность z = своей естественной границей (т.е. f(z) является функцией, не продолжимой за пределы единичного круга). Указание. Пользуясь тождеством f(z) = z + z z k + f(z k ), доказать, что для любой точки вида ζ = k (k натуральное число) f(tζ) при t (0 < t < ). В задачах 4 4 доказать, что функции, представленные указанными степенными рядами, не продолжимы за пределы единичного круга. 4. f(z) = z n!. Указание. Если p и q взаимно простые целые числа и n q, то (re pπi q ) n! = r n!. 4. f(z) = z n! n. ( 43. Доказать, что ряд n= z ) в областях z < и n+ z n z > представляет две аналитические функции, не являющиеся аналитическим продолжением друг друга. 3
32 7 Геометрические принципы Теорема Руше При подсчете числа нулей голоморфной функции в заданной области применяется следующая Теорема 0. (Теорема Руше) Пусть функции f(z) и g(z) голоморфны в замкнутой области D. И пусть f(z) > g(z), z D. Тогда функции f(z) и f(z) + g(z) имееют в D одинаковое число нулей. Пример 5. Найдем число корней многочлена P (z) = z 4 +0z+ в кольце < z <. Примем На окружности z = имеем f(z) = 0z и g(z) = z 4 +. f(z) = 0 z = 0, g(z) z 4 + = 7, f(z) > g(z). Тогда по теореме Руше внутри круга z < число корней многочлен P (z) = f(z) + g(z) равно числу нулей функция f(z) = 0z, то есть. На окружности z = имеем f(z) = 0 z = 0, g(z) z 4 + =, f(z) > g(z). Тогда, аналогично, по теореме Руше внутри круга z < число корней многочлен P (z) равно. Таким образом, в кольце < z < многочлен P (z) не имеет корней (число корней внутри z < без корней внутри z < равно нулю). Единственный корень многочлена находится внутри круга z <. В задачах 44 46, пользуясь теоремой Руше, найти количество лежащих внутри круга z < корней данных уравнений. 44. z 9 z 6 + z 8z = z 5 z 3 + 3z z + 8 = z 7 5z 4 + z = 0. 3
33 47. Доказать, что если во всех точках контура C справедливо неравенство a k z k > a 0 + a z + + a k z k + a k z k + + a n z n, то многочлен a 0 + a z + + a n z n имеет k нулей внутри контура C, если точка z = 0 лежит внутри этого контура, и не имеет нулей, если она лежит вне контура C. 48. Сколько корней уравнения z 4 5z + = 0 находится в круге z <? в кольце < z <? 49. Сколько корней уравнения z 4 8z + 0 = 0 находится в круге z <? в кольце < z < 3? 50. Сколько корней имеет в круге z < уравнение z n + α 0 z + α z + α = 0, если α 0 > α + α + (n натуральное число)? 5. Сколько корней имеет в круге z < уравнение z = ϕ(z), если при z функция ϕ(z) аналитична и удовлетворяет неравенству ϕ(z) <? 5. Сколько корней имеет в круге z < уравнение e z 4z n + = 0 (n натуральное число)? 53. Сколько корней имеет в круге z < R уравнение e z = az n (n натуральное число), если a > er R n? 54. Доказать, что уравнение z = λ e z (λ > ) имеет в правой полуплоскости единственный (и при том действительный) корень. 55. Доказать, что как бы мало ни было ρ > 0, при достаточно большом n все нули функции находятся в круге z < ρ. f n (z) = + z + z + + n!z n 56. Доказать, что если ρ <, то многочлен P n (z) = + z + 3z + + nz n при достаточно большом n не имеет корней в круге z < ρ. Указание. Воспользоваться методом решения задачи
34 Принцип аргумента Теорема. Пусть функция f(z) голоморфна в ограниченной односвязной области D за исключением, быть может, полюсов. Если функция f(z) не имеет на D ни нулей, ни полюсов, то πı D f (z) dz = N P, (33) f(z) где N число нулей, P число полюсов функции f(z) в области D. При этом каждый нуль считается столько раз, какова его кратность, а каждый полюс столько раз, каков его порядок. Теорема. В условиях предыдущей теоремы формулу (33) можно переписать как: π D arg f(z) = N P (34) Здесь D arg f(z) приращение аргумента функции f(z) при обходе кривой D в положительном направлении. Формула (34) известна под названием принципа аргумента. Геометрический смысл D arg f(z) состоит в следующем. Пусть D образ кривой D при отображении w = f(z). При полном обходе замкнутого контура D точкой z соответствующая точка описывает на плоскости w замкнутый контур D. Изменение аргумента функции f(z) на контуре D определяется числом полных оборотов, которые совершает вектор w при движении точки w по замкнутому контуру D. Если вектор w не делает ни одного оборота вокруг точки w = 0, то D arg f(z) = 0. Пример 6. В качестве примера применения принципа аргумента приведем доказательство теоремы < ( Руше. Пусть C будет границей D. Так как arg= arg f(z) + g(z) )> < = arg f(z) + arg + g(z) >, то f(z) f(z) и < C arg = C arg f(z) + C arg + g(z) >. f(z) Но в условиях теоремы для всех z на C имеем g(z) f(z) <, следовательно, точка w = + g(z) все время движется внутри круга w <. Этот круг f(z) 34
35 не содержит точки w = 0, следовательно, аргумент w при полном обходе C возвращается к первоначальному значению. Таким образом, < C arg + g(z) >= 0 f(z) и C arg = C arg f(z). Так как функции f(z) и f(z) + g(z) не имеют в D полюсов (f(z) и g(z) голоморфны в D), то последнее соотношение на основании принципа аргумента означает, что они имеют в D одинаковое число нулей. (так как на C f(z) > g(z) 0 и f(z) + g(z) f(z) g(z) > 0, то есть f(z) и f(z)+g(z) на границе C не имеют нулей, то принцип аргумента применим). 57. Пусть ни один из нулей многочлена P n (z) = z n + a z n + + a n не лежит на мнимой оси. Доказать, что когда точка z пробегает сверху вниз мнимую ось, то приращение аргумента P n (z) равно kπ, где k целое число той же четности, что и n, причем k n. Доказать, что при этом многочлен P n (z) имеет в правой полуплоскости n + k нулей. ( Указание. Представить P n (z) = z n + a z + + a ) n и применить z n принцип аргумента к полукругу z < R, Re z > 0 при достаточно большом R. 58. Найти количество корней многочлена в правой полуплоскости. z 6 + z 5 + 6z 4 + 5z 3 + 8z + 4z Найти количество корней уравнения z 4 + z 3 + 3z + z + = 0 в правой полуплоскости и в первом квадранте. 60. Сколько корней в каждом квадранте имеет уравнение z 4 3z 3 + 3z z + = 0? 35
36 6. В каких квадрантах лежат корни уравнения z 4 + z 3 + 4z + z + 3 = 0? 6. Доказать, что число корней уравнения z n + αz n + β = 0 (α и β действительные числа, α 0, β 0; n натуральное число), имеющих положительную действительную часть, равно n, если n четное. Если же n нечетное, то число их равно n, если α > 0, и n +, если α < 0. Указание. Рассмотреть приращение arg(z n +αz n +β ), когда точка z описывает границу правого полукруга большого радиуса. Принцип максимума модуля Принцип максимума модуля выражается следующей теоремой: Теорема 3. (Принцип максимума) Пусть функция f(z) является голоморфной в ограниченной области D и непрерывна в замкнутой области D. Тогда или f(z) const, или максимальные значения f(z) достигаются только на границе области. Учитывая свойства функций, непрерывных на замкнутых множествах, принцип максимума модуля можно сформулировать еще и так: Теорема 4. (Принцип максимума ) Пусть функция f(z) голоморфна в области D и непрерывна в замкнутой области D, тогда f(z) достигает максимума только на границе D. Аналогичное утверждение для минимума модуля, вообще говоря, несправедливо. Это видно из примера. Пример 7. Модуль функции f(z) = z в круге z < достигает своего минимума в точке z = 0, то есть во внутренней точке области. Однако справедлива такая Теорема 5. Если функция f(z) голоморфна в области D и не обращается в нуль в этой области, то f(z) может достигать (локального) минимума внутри области D лишь в случае f(z) = const. Простым следствием принципа максимума является 36
37 Лемма Шварца. Пусть функция f(z) голоморфна в круге z <, f(0) = 0 и f(z) при z <. Тогда во всем круге z < имеет место неравенство f(z) z. Если хотя бы в одной точке z 0 круга z < выполняется равенство f(z) = z, то f(z) = e iα z, где α действительное число. 63. Доказать, что если функция f(z), отличная от константы, аналитична в области G и не обращается в нуль, то минимум f(z) не может достигаться внутри области G. 64. ) Доказать, что внутри области, ограниченной простой замкнутой линией уровня модуля функции f(z) (т.е. линией, во всех точках которой f(z) = const) и содержащейся вместе с границей в области аналитичности функции f(z), найдется по крайней мере один нуль этой функции (f(z) C). ) Доказать, что если P (z) многочлен степени n, то линии уровня его модуля P (z) = C (лемнискаты) могут распадаться не более чем на n связных компонент. 65. Доказать, что если функция f(z) аналитична в круге z <, f(z) и для некоторого α ( α < ) f(α) = 0, то при z справедливо неравенство f(z) z α αz. Указание. Рассмотреть функцию z αz z α f(z). 8 Конформные отображения Взаимно однозначное отображение области D комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w называется конформным, если это отображение во всех точках z D обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений. 37
38 Функция Дробно линейные функции w = az + b, ad bc 0, (35) cz + d где a, b, c, d комплексные числа, называется дробно-линейной. Отображение, осуществляемое функцией (35), называется дробно-линейным. Условие ad bc 0 означает, что w const. В формуле (35) предполагается, что если c 0, то w( ) = a/c, w( d/c) =, а если c = 0, то w( ) =. Таким образом дробно-линейная функция определена во всей расширенной комплексной плоскости. В частности, при c = 0 функция (35) является линейной, а отображение, осуществляемое линейной функцией, называется линейным. Рассмотрим основные свойства дробно-линейных отображений. Теорема 6. (Конформность) Дробно-линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость на расширенную комплексную плоскость. Имеет место и обратное утверждение. Если функция w = f(z) конформно отображает расширенную комплексную плоскость на расширенную комплексную плоскость, то эта функция является дробно-линейной. Теорема 7. (Групповое свойство) Совокупность дробно-линейных отображений образует группу, т.е.. суперпозиция (произведение) дробно-линейных отображений является дробно-линейным отображением;. отображение, обратное к дробно-линейному, также является дробнолинейным. Теорема 8. (Круговое свойство) При дробно-линейном отображении образом любой окружности или прямой является окружность или прямая. Отметим, что дробно-линейное отображение w = az + b cz + d переводит окружности и прямые, проходящие через точку z = d/c, в прямые, а остальные окружности и прямые в окружности. Будем считать, что прямые окружности бесконечного радиуса. Поэтому круговое свойство можно коротко сформулировать так: при дробно-линейном отображении окружности переходят в окружности. Пусть K окружность радиуса R с центром в точке O. Точки M и M называются симметричными относительно окружности K, если они лежат на одном луче, выходящем из точки O, и OM OM = R. 38
39 В частности, каждая точка окружности K является симметричной сама себе относительно этой окружности. Теорема 9. (Свойство сохранения симметрии) При дробнолинейном отображении пара точек, симметричных относительно окружности, переходит в пару точек симметричных относительно образа этой окружности. Теорема 0. (Дробно-линейное отображение, переводящее три точки в три точки) Существует единственное дробно-линейное отображение, при котором три различные точки z, z, z 3 переходят соответственно в три различные точки w, w, w 3. Это отображение определяется формулой w w w w w3 w w 3 w = z z z z z3 z z 3 z. (36) Пример 8. Нетрудно убедиться в том, что формула (36) сохраняет смысл и в том случае, когда одна из точек z k или w k есть бесконечно удаленная, если только в этой формуле заменить единицей числитель и знаменатель отношения, в котором участвует эта точка (каждая точка участвует один раз в числителе и один раз в знаменателе). В самом деле, пусть, например, w =, z 3 =, тогда формула примет вид w w w 3 w = z z z z, или w = w + (w 3 w ) z z и непосредственно видно, что полученное z z отображение решает задачу. Так всякое дробно-линейное отображение, переводящее точку z в точку w = 0, а точку z в точку w =, имеет вид w 0 w 3 = z z z z z3 z z 3 z w = A z z z z, где A = w 3 z 3 z z 3 z некоторое комплексное число. Пример 9. Выясним, во что функция w = z Выделим мнимую и действительную части w: w = u + iv = x + iy = x iy x + y, 39 переводит прямую y = x.
40 Отсюда, так как x = y, u = x x + y = x x, v = y x + y = x x. Таким образом функция w = z переводит прямую y = x в прямую u = v. 66. Для функции ω = найти образы следующих линий: z ) семейства окружностей x + y = ax; ) семейства окружностей x + y = by; 3) пучка параллельных прямых y = x + b; 4) пучка прямых y = kx; 5) пучка прямых, проходящих через заданную точку z 0 0; 6) параболы y = x. 67. Выяснить, во что функция ω = + h переводит: z z 0 ) прямоугольную сетку x = C, y = C; ) полярную сетку z z 0 = R, arg(z z 0 ) = α. В задачах 68 7 выяснить, во что преобразуются указанные области при заданных отображающих функциях. 68. Квадрант x > 0, y > 0; ω = z i z + i. 69. Полукруг z <, Im z > 0; ω = z i + iz. 70. Угол 0 < ϕ < π 4 ; ω = z z. 7. Полоса 0 < x < ; ) ω = z ; ) ω = z z z. 7. Кольцо < z < ; ω = z z. 73. Найти дробно-линейные функции, переводящие точки, i, + i соответственно в точки: ) 0, i, i; ) i. 74. Найти дробно-линейные функции, переводящие точки,, i соответственно в точки: ) i,, + i; ), i, ; 3) 0;,. 75. Найти дробно-линейные функции по следующим условиям: 40
41 ) точке и i неподвижны, а точка 0 переходит в точку ; ) точки и неподвижны, а точка i переходит в точку ; 4 3) точка i является двойной неподвижной точкой, а точка переходит в. 76. Найти дробно-линейную функцию, переводящую точки, 0, соответственно в точки, i,, и выяснить, во что при этом переходит верхняя полуплоскость. 77. Найти общий вид дробно-линейного преобразования, переводящего: ) верхнюю полуплоскость на себя; ) верхнюю полуплоскость на нижнюю полуплоскость; 3) верхнюю полуплоскость на правую полуплоскость. 78. Найти отображение верхней полуплоскости на себя при указанной нормировке: ) ω(0) =, ω() =, ω() = ; ) ω(0) = ; ω(i) = i. 79. Найти функцию ω(z), отображающую круг z < R на правую полуплоскость Re ω > 0 так, что ω(r) = 0, ω( R) =, ω(0) =. Каков при этом отображении образ верхнего полукруга? Две точки P и P называются симметричными относительно окружности K с центром в O и радиусом R, если они лежат на одном и том же луче, выходящем из O, и OP OP = R. 4
42 80. Найти симметричный образ относительно единичной окружности следующих линий: ) z = ; ) z = ; 3) y = ; 4) z z 0 = z 0 (z 0 = x 0 + iy 0 ); 5) z z 0 = z 0 ( z 0 > ); 6) гиперболы x y =. 8. Функция ω = e iαz β (β = a + ib, b > 0) отображает верхнюю z β полуплоскость на единичный круг. ) Найти arg ω(x) = θ(x); ) найти ω (β); 3) выяснить, какая часть верхней полуплоскости при этом отображении сжимается и какая растягивается. 8. Отобразить верхнюю полуплоскость Im z > на единичный круг ω > так, чтобы: ) ω(i) = 0, arg ω (i) = π ; ) ω(i) = 0, arg ω (i) = 0; 3) ω(a + bi) = 0, arg ω (a + bi) = θ (b > 0). 83. Отобразить верхнюю полуплоскость Im z > 0 на круг ω ω 0 < R так, чтобы точка i перешла в центр круга, а производная в этой точке была положительной. 84. Отобразить круг z < на полуплоскость Re ω > 0 так, чтобы ω(0) =, arg ω (0) = π. 85. Отобразить круг z 4i < на полуплоскость v > u так, чтобы центр круга перешел в точку 4, а точка окружности i в начало координат. 86. Отобразить верхнюю полуплоскость на нижнюю так, чтобы ω(a) = a и arg ω (a) = π (Im a > 0). 87. Для функции ω = e iα z a ( a < ), отображающей единичный az круг на себя: 4
43 ) найти arg ω(e iϕ ) = θ(ϕ); ) найти ω (0) и ω (a); 3) выяснить, какая часть единичного круга при этом отображении сжимается и какая растягивается; 4) найти max dω dz и min dω dz для z. 88. Найти общий вид дробно-линейной функции ω(z), отображающей круг z < R на себя при следующих условиях: ) ω(a) = 0 ( a < R); ) ω(a) = b ( a < R, b < R); 3) ω(±r) = ±R. 43
44 Ответы и решения. ( z ) n n ( ) k при z < ; при z >.. ( ) z n+ a k n + k (z ) ( ) n n + k (a ) n при z < a ; при z > a. k a z k k z 3. z + z n при z < ; z + ( ) n (z ) n при 0 < z < ; n= z при z >. 4. b n+ a n+ z n при z < a ; n b a a n+ b n+ a b [ z a + (z a) n ] b n a n при 0 < z a < b a ; (b a) n+ ( ) b a z n z n an при z > b ; + при a < z < b. 5. a b bn+ z n+ z + i ( ) n( + i)n+ ( i) n+ (z ) n при 0 < z < 5; ( ) n 5 n+ n= z n z n при < z <. 6. i n+ 4(z i) 4(z i) + (n + 3)i n (z i) n при n+4 0 < z i < ; ( ) n n n= z при z >. 7. n+ + z + z + n= (n + )!z при n ( ) n 0 < z <. 8. n!(z ) при 0 < z < ; n z + c n z n n= при z >, где c n = + n ( ) k+ ( ) n (n =, 3. ). [ k= (k + )! k 9. cos + ( ) n 4 n sin ( )n 4 n ] cos n= (n )!(z ) 4n + при 0 < z <. (n)!(z ) [ 4n ] (n )! (n + )! 0. (z ) + + ( )n n= (z ) n + ( ) n ], (n + )!(z ) n при 0 < z <.. c n z n + c n z n, где c n = c n = n= k=0 k!(n + k)! (n = 0. ).. c n z n + c n z n, где c n =c n = ( ( ) n k=0 (k + )!(n + k + )! (n = 0. ). 3. sin + nπ ) n!(z ) n при 0 < z < ; sin cos sin cos 6 sin 5 cos z!z 3!z 3 44
45 при z >. 5. z = 0, z = ± полюсы -го порядка, z = правильная точка (нуль 3-го порядка). 6. z = ± i, z = ± i полюсы -го порядка, z = правильная точка. 7. z = полюс -го порядка; z = полюс 3-го порядка. 8. z = 0 полюс -го порядка; z = ±i полюсы -го порядка; z = правильная точка (нуль 5-го порядка). 9. z = ±i полюсы - го порядка; z = существенно особая точка. 0. z = существенно особая точка.. z = существенно особая точка.. z = kπi (k = ±. ) полюсы -го порядка; z = точка, предельная для полюсов. 3. z = 0 полюс -го порядка; z = kπi (k = ±. ) полюсы - го порядка; z = точка, предельная для полюсов. 4. z = (k + )πi (k = 0, ±. ) полюсы -го порядка; z = точка, предельная для полюсов. 5. z = 0 полюс 3-го порядка, z = kπi ± i ln( + 3) (k = 0, ±. ) полюсы -го порядка; z = точка, предельная для полюсов. 6. z = kπi (k = 0, ±. ) полюсы -го порядка; z = точка, предельная для полюсов. 7. z = 0 существенно особая точка; z = правильная точка. 8. z = 0 существенно особая точка: z = полюс -го порядка. 9. z = существенно особая точка; z = правильная точка. 30. z = 0 существенно особая точка; z = существенно особая точка. 3. z = существенно особая точка; z = kπi (k = 0, ±. ) полюсы -го порядка; z = точка, предельная для полюсов. 3. z = kπ (k = 0, ±. ) полюсы -го порядка; z = точка, предельная для полюсов. 33. z = 0 полюс -го порядка; z = существенно особая точка. 34. z = (k + ) π (k = 0, ±. ) полюсы -го порядка; z = точка, предельная для полюсов. 35. z = (k + ) π (k = 0, ±. ) полюсы -го порядка; z = точка, предельная для полюсов. 36. z = 0 полюс 3-го порядка; z = kπ (k = ±. ) полюсы -го порядка; z = точка, предельная для полюсов. 37. z = kπ (k = ±. ) полюсы -го порядка; z = точка, предельная для полюсов. 38. z = kπ (k = 0, ±. ) полюсы -го порядка; z = точка, предельная для полюсов. 39. Если a mπ + π (m = 0, ±, ±. ), то z = kπ + a и z = (k + )π a (k = 0, ±, ±. ) простые полюсы; если a = mπ + π, то при m четном z = kπ + π и при m нечетном z = (k+)π+ π являются полюсами -го порядка; z = во всех случаях точка, предельная для полюсов. 40. Если a mπ (m = 0, ±, ±. ), то z = (k + )π ± a (k = 0, ±, ±. ) полюсы -го порядка; если a = mπ, 45
46 то при m нечетном z = kπ, а при m четном z = (k + )π полюсы -го порядка, z = во всех случаях точка, предельная для полюсов. 4. z = существенно особая точка; z = правильная точка (нуль -го порядка). 4. z = полюс -го порядка; z = существенно особая точка; z = полюс 3-го порядка. 43. и 44. z = (k = ±. ) полюсы kπ -го порядка; z = 0 точка, предельная для полюсов, z = полюс -го порядка. 45. z = 0 существенно особая точка; z = правильная точка (нуль -го порядка). 46. z = 0 существенно особая точка; z = существенно особая точка. 47. z = (k = ±. ) существенно kπ особые точки; z = 0 точка, предельная для существенно особых точек, z = существенно особая точка. 48. z = (k = 0, ±. ) (k + )π существенно особые точки; z = 0 точка, предельная для существенно особых точек, z = правильная точка. 49. z = (k = ±. ) kπ существенно особые точки; z = 0 точка, предельная для существенно особых точек, z = существенно особая точка. 50. z = (k = 0, (k + )π ±. ) существенно особые точки; z = 0 точка, предельная для существенно особых точек, z = правильная точка. 5. ) Точка z = полюс порядка k = max(n, m), если n m; если же n = m, то z = либо полюс порядка k n, либо правильная точка; ) полюс порядка n m, если n > m, и правильная точка, если n m; если n < m, то z = нуль порядка n m; 3) полюс порядка n+m. 5. Примеры: ) z ; ) z +z; 3) a. 53. ) z n z a (a 0) или az + b (a 0); ) a (a 0) или (z α) n a 0 +a z+ +a n z n (a n 0); 3) z +C; 4) a 0 + a z + + a n+m z n+m (a z n 0 0, a 0 + a z + + a n z n a n+m 0); 5) (z α )(z α ). (z α n ) (α k α l при k l и по крайней a 0 + a z + + a n z n мере одно из чисел α m отлично от нуля) или (z α )(z α ). (z α n ) (a n 0, α k α l при k l). 56. ) ; ) 0; 3) 0; 4) res f(z) = z=± ; res z=0 res f(z) = z= i res z= i 4 ; res f(z) = res z= (n)! f(z) = ( )n (n )!(n + )! f(z) = ; res f(z) = res z= z= z=i f(z) = i 4 ; (n)! f(z) = ( )n+ (n )!(n + )! ;. 60. res f(z) = ; res f(z) = z=0 z=± ; 46