Колемаев В.А., Калинина В.Н., Соловьев В.И. Теория вероятностей в примерах и задачах
Содержит задачи по теории вероятностей . По каждому разделу учебной про - граммы приводятся необходимые теоретические сведения , типовые примеры с решениями и задачи для самостоятельного решения , сопровождающиеся ответами .
От других пособий отличается ориентацией на экономические приложения : большинство задач по каждой теме составлены специально для настоящего изда - ния и иллюстрируют применение математических методов при исследовании эко - номических и социальных процессов , принятии управленческих решений , управ - лении рисками и т . д . Приводятся как элементарные задачи , доступные студентам всех специальностей , так и задачи повышенной сложности , рассчитанные на сту - дентов , изучающих расширенный курс теории вероятностей и математической статистики .
Для студентов всех специальностей , аспирантов и преподавателей .
ББК 22.17 я 7 УДК 519.21 (075.8)
заведующий кафедрой прикладной математики ГУУ , доктор экономических наук , профессор
директор института статистики и эконометрики МЭСИ , доктор экономических наук , профессор В . С . Мхитарян
заведующий кафедрой высшей математики ГУЗ , доктор физико - математических наук , профессор Н . В . Кислов
В . А . Колемаев , В . Н . Калинина , В . И . Соловьёв , В . И . Малыхин , А . П . Курочкин , 2001
Государственный университет управления , 2001 ISBN 5-215-01281-4
Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей выс - ших учебных заведений , изучающих курс теории вероятностей и математической статистики . В посо - бии представлены задачи , которые служат для усвоения материала всех разделов теории вероятностей на конкретных примерах , возникающих в практике управления экономическими , социальными и фи - нансовыми системами . В процессе решения таких задач студент не только закрепляет и углубляет тео - ретические знания , полученные на лекциях , но и учится применять эти знания при постановке и ре - шении реальных экономических задач . В предлагаемом пособии экономические , финансовые и со - циологические приложения методов теории вероятностей и математической статистики выходят на первый план , серьёзный акцент делается не только на методы решения задач , но и на построение ма - тематических моделей , анализ и экономическую интерпретацию полученных результатов . В результа - те использования учебного пособия студент знакомится с основными проблемами управления , эконо - мики , финансов , социологии и других смежных областей , при решении которых полезно применение вероятностно - статистических методов , учится ориентироваться в математических методах и по эконо - мической постановке задачи определять , в каком разделе математики искать средства для её решения , переходить от экономической постановки задачи к её математической модели , проводить по этой мо - дели расчёты и получать числовые результаты , анализировать эти результаты и делать количествен - ные и качественные выводы , необходимые для принятия решений в своей предметной области .
Учебное пособие отражает опыт преподавания теории вероятностей и математической статистики в Государственном университете управления ( см . [1], [8], [9], [10], [11], [14], [20], [21], [23]) и полностью соответствует учебнику [1].
Задачи разбиты по главам и параграфам в соответствии со структурой действующих учебных про - грамм и учебника [1]. В каждом параграфе предлагаются необходимые теоретические сведения , зада - чи с решениями , а также большое число задач для самостоятельной работы , сопровождающихся отве - тами . В решениях задач большое внимание уделяется не только методам и алгоритмам , но и переходу от экономической постановки проблемы к математической модели , экономическому анализу полу - ченных результатов . Внутри параграфов сложность возрастает от простых задач , для решения которых необходимо использовать стандартные формулы и приёмы , до довольно сложных , рассчитанных на студентов , изучающих расширенный курс теории вероятностей и математической статистики , — ре - шения этих задач содержат принципиально важные идеи либо требуют аккуратного проведения дос - таточно больших математических выкладок .
Чтобы облегчить студентам освоение сложной дисциплины , авторы стремились сделать задачи ин - тересными и по форме , и по содержанию .
При подготовке пособия авторами был учтён опыт всех известных им задачников по теории веро - ятностей и математической статистике . Ряд задач заимствован из работ [1]-[25]. Большинство задач яв - ляются оригинальными и подготовлены авторами специально для данного издания .
Работа авторов над пособием распределилась следующим образом : предисловие и теоретические введения к параграфам написаны совместно д - ром экон . наук , проф . В . А . Колемаевым , канд . техн . на - ук , проф . В . Н . Калининой и канд . экон . наук В . И . Соловьёвым ; задачи 13-18, 25-27, 39, 40, 51, 53, 72-75, 77, 90, 101, 103, 104, 106, 110-112, 139-143, 147, 148, 154-157, 170, 175, 176, 193, 198, 200, 201, 213, 224, 231, 232, 234, 247-249, 252, 253, 256, 260, 261, 264-267, 271, 272, 275, 283, 284, 301, 304, 309, 310, 314, 315, 317, 319, 321323, 330, 343, 348, 358-360 ( всего 83 задачи ) предложены д - ром экон . наук , проф . В . А . Колемаевым , зада -
чи 64-66, 70, 82, 83, 121, 122, 130, 158, 167, 168, 172, 179, 182-184, 189, 191, 199, 207, 225-229, 244-246, 255, 262263, 268-270, 294, 296-299, 311, 316, 324, 351 ( всего 44 задачи ) предложены канд . техн . наук , проф . В . Н . Ка - лининой , задачи 1-12, 19-24, 28-37, 41-46, 48, 52, 55, 57-63, 69, 71, 78-80, 84-88, 91-100, 102, 108, 109, 114-120, 123, 127-129, 131, 135-138, 146, 149-153, 159-160, 162, 165, 166, 169, 171, 174, 177, 178, 180, 185-188, 190, 192, 196, 197, 202, 204-206, 212, 214-216, 222, 223, 230, 235, 236, 239-243, 251, 254, 257-259, 273, 274, 276-282, 285-293, 295, 300, 302, 303, 305-308, 312, 313, 318, 320, 325-329, 331-342, 344-347, 352-357, 361-369 ( всего 200 задач ) предложены канд . экон . наук В . И . Соловьёвым , задачи 38, 47, 54, 56, 67, 68, 81, 89, 105, 107, 132-134, 144, 145, 161, 163, 164, 173, 181, 194, 203, 208-210, 217-220, 233, 250, 349, 350 ( всего 33 задачи ) предложены д - ром физ .- мат . наук , проф . В . И . Малыхиным , задачи 49, 50, 113, 126, 195, 211, 221, 237, 238 ( всего 9 задач )
предложены канд . техн . наук , доц . А . П . Курочкиным ; решения всех задач , ответы и приложения под - готовлены канд . экон . наук В . И . Соловьёвым .
Глава 1. В ЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§1.1. Э ЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
В теории вероятностей часто приходится иметь дело с задачами , в которых необходимо под - считывать число возможных способов совершения каких - либо действий . Задачи такого типа на - зываются комбинатόрными , а раздел математики , занимающийся решением таких задач , — ком - бинатόрикой . Сформулируем два универсальных правила , применяемых при решении комбина - торных задач .
П РАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ . Пусть требуется выполнить одно за другим какие - либо m действий . Если первое действие можно выполнить n 1 способами , второе действие — n 2 способами и так до m - го дейст -
вия , которое можно выполнить n m способами , то все m действий могут быть выполнены n 1 n 2 n m
П РАВИЛО СУММЫ . Пусть требуется выполнить одно из каких - либо m действий , взаимно исклю - чающих друг друга . Если первое действие можно выполнить n 1 способами , второе действие — n 2 спосо -
бами и так до m - го действия , которое можно выполнить n m способами , то выполнить одно из этих m действий можно ( n 1 + n 2 + + n m ) способами .
Напомним понятие факториала , активно используемое в комбинаторике . Факториалом нату - рального числа n называется число
n ! = n ( n − 1)( n − 2) 3 2 1 .
По определению , факториалом нуля является единица :
Рассмотрим некоторое множество S , состоящее из n различных элементов . Пусть 1
Назовём множество , состоящее из k элементов , упорядоченным , если каждому элементу этого мно - жества поставлено в соответствие число от 1 до k , причём различным элементам множества соот - ветствуют разные числа .
Размещениями из n элементов по k называются упорядоченные подмножества множества S , со - стоящие из k различных элементов и отличающиеся друг от друга составом элементов или поряд - ком их расположения .