Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Эллипс.
Эллипс с каноническим уравнением $\frac+\frac=1, a\geq b>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.
Параметры $a$ и $b$ называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0), $ $B_1(0, -b), $ и $B_2(0, b), $ его вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ - главными осями а центр симметрии $O -$ центром эллипса.
Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt\geq 0,$ называются фокусами эллипса векторы $\overline$ и $\overline -$ фокальными радиус-векторами, а числа $r_1=|\overline|$ и $r_2=|\overline| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей эллипсу. В частном случае $a=b$ фокусы $F_1$ и $F_2$ совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид $\frac+\frac=1,$ или $x^2+y^2=a^2,$ т.е. описывает окружность радиуса $a$ с центром в начале координат.
Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами эллипса.
Теорема. ( Директориальное свойство эллипса)
Эллипс является множеством точек, отноше ние расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$
Примеры.
2.246. Построить эллипс $9x^2+25y^2=225.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
а) Находим полуоси $a=5,$ $b=3.$
б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt:$
$c=\sqrt=\sqrt=4\Rightarrow F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0).$
г) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
Ответ: а) $a=5,$ $b=3;$ б) $ F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0);$ в) $e=\frac;$ г) $D_1: x=-\frac$ и $D_2: x=\frac.$
2.249 (a). Установить, что уравнение $5x^2+9y^2-30x+18y+9=0$ определяет эллипс, найти его центр $C,$ полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:
Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ полуоси $a=3,$ $b=\sqrt 5.$
Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
$D_1: x=-\frac=-\frac $ и $D_2: x=\frac=\frac.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$
Ответ: $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ $a=3,$ $b=\sqrt 5;$ $ e=\frac.$ $D_1:2x+3=0, $ $D_2: 2x-15=0.$
2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки $M_1(2, \sqrt 3)$ и $M_2(0, 2).$ Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки $M_1$ и расстояния этой точки до директрис.
Решение.
Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка $(0, 2)$ принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что $b=2.$
Далее, чтобы найти $a,$ подставим найденное значение $b$ и координаты точки $M_1(2, \sqrt 3)$ в каноническое уравнение эллипса $\frac+\frac=1:$
Таким образом, уравнение эллипса $\frac+\frac=1.$
Далее найдем координаты фокусов:
$c=\sqrt=\sqrt=2\sqrt 3\Rightarrow F_1(-2\sqrt 3, 0),\,\,\, F_2(2\sqrt 3, 0).$
Отсюда находим $\overline =(2+2\sqrt 3, \sqrt 3),$ $\overline=(2-2\sqrt 3, \sqrt 3).$
Чтобы найти расстояния от точки $M_1$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac\right|.$$
Таким образом, расстояние от точки $M_1(2, \sqrt 3)$ до прямой $D_1: \sqrt 3 x+8=0$
расстояние от точки $M_1(2, \sqrt 3)$ до прямой $D_2: \sqrt 3 x-8=0$
Гипербола.
Параметры $a$ и $b$ называются полуосями гиперболы. Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0) - $ ее вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ - действительной и мнимой осями а центр симметрии $O -$ центром гиперболы.
Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt\geq 0,$ называются фокусами гиперболы, векторы $\overline$ и $\overline -$ фокальными радиус-векторами, а числа $r_1=|\overline|$ и $r_2=|\overline| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей гиперболе.
Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2:x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами гиперболы.
Теорема. (Директориальное свойство гиперболы).
Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей дирек трисы постоянно и равно $e.$
Примеры.
2.265. Построить гиперболу $16x^2-9y^2=144.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.
Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:
а) Находим полуоси $a=3,$ $b=4.$
б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt:$
$c=\sqrt=\sqrt=5\Rightarrow F_1(-5, 0),\qquad F_2(5, 0).$
г) Асимптоты гиперболы находим по формулам $y=\pm\fracx:$
д) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
Ответ: а) $a=3,$ $b=4;$ б) $ F_1(-5, 0),\qquad F_2(5, 0);$ в) $e=\frac;$ г) $y=\pm\fracx;$ д ) $D_1: x=-\frac$ и $D_2: x=\frac.$
2.269 (a). Установить, что уравнение $16x^2-9y^2-64x-54y-161=0$ определяет гиперболу, найти ее центр $C,$ полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.
Приведем заданное уравнение к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:
Это уравнение гиперболы. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(2,-3);$ полуоси $a=3,$ $b=4.$
Асимптоты гиперболы c центром в начале координат, находим по формулам $y=\pm\fracx,$ а с центром в точке $C=(x_0, y_0) -$ по формуле $y-y_0=\pm\frac(x-x_0),$
$$y+3=\frac(x-2)\Rightarrow 3y+9=4x-8\Rightarrow 4x-3y-17=0.$$
$$y+3=-\frac(x-2)\Rightarrow 3y+9=-4x+8\Rightarrow 4x+3y+1=0.$$
Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
$D_1: x=-\frac=-\frac $ и $D_2: x=\frac=\frac.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$
Ответ: $C=(2, -3);$ $a=3,$ $b=4;$ $ e=\frac,$ $4x-3y-17=0,$ $4x+3y+1=0,$ $D_1:5x-1=0, $ $D_2: 5x-19=0.$
2.272. Убедившись, что точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $\frac-\frac=1,$ найти фокальные радиусы этой точки и расстояния этой точки до директрис.
Решение.
Проверим, что заданная точка лежит на гиперболе:
Следовательно, точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $\frac-\frac=1.$
Для того, чтобы найти фокальные радиусы, найдем фокусы гиперболы:
$c=\sqrt\Rightarrow c=\sqrt=\sqrt =5$ Следовательно, фокусы имеют координаты $F_1(-5, 0), F_2(5, 0).$
Фокальные радиусы точки, можно найти по формулам $r_1=|\overline|$ и $r_2=|\overline|.$
Чтобы найти расстояния от точки $M$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
$D_1: x=-\frac\Rightarrow x=-\frac\Rightarrow 5x+16=0;$
$D_2: x=\frac\Rightarrow x=\frac\Rightarrow 5x-16=0;$
Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac\right|.$$
Таким образом, расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_1: \sqrt 5x+16=0$
расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_2: \sqrt 5x-16=0$
Ответ: $r_1=9/4,$ $r_2=\frac;$ $d_1=\frac;$ $d_2=\frac.$
2.273. Найти точки гиперболы $\frac-\frac=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1.$
Решение.
Из уравнения гиперболы находим полуоси: $a=3, \, b=4.$ Следовательно, $c=\sqrt\Rightarrow c=\sqrt=\sqrt =5.$
Отсюда находим $F_1=(-5, 0).$
Геометрическое место точек, расположенных на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ это окружность с центром в точке $F_1=(-5, 0)$ и радиусом $r=7:$
Чтобы н айти точки гиперболы $\frac-\frac=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ решим систему уравнений
Решим уравнение $5x^2+18x-72=0:$
Находим соответствующие координаты $y:$ $y_1=\pm\sqrt=\sqrt$ - нет корней .
Ответ: $(-6, \pm4\sqrt 3).$
Парабола.
Парабола с каноническим уравнением $y^2=2px, p>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.
Число $p$ называется параметром параболы. Точка $O -$ ее вершиной, а ось $Ox$ - осью параболы.
Точка $F\left(\frac
, 0\right)$ называется фокусом параболы, вектор $\overline -$ фокальным радиус-векторам, а число $r=|\overline| -$ фокальным радиусом точки $M,$ принадлежащей параболе.
Прямая $D: x=-p/2$ перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии $p/2$ от вершины параболы, называется ее директрисой.
Примеры.
2.285 (а). Построить параболу $y^2=6x$ и найти ее параметры.
Решение.
Параметр $p$ параболы можно найти из канонического уравнения $y^2=2px: $
$$y^2=6x\Rightarrow y^2=2\cdot 3x\Rightarrow p=2.$$
Ответ: $p=3.$
2.286 (а). Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox$ и $p=1/2.$
Решение.
Поскольку парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox,$ то уравнение параболы будет иметь вид $y^2=-2px.$ Подставляя заданное значение параметра, находим уравнение параболы:
Ответ: $y^2=-x.$
2.288 (а). Установить, что уравнение $y^2=4x-8$ определяет параболу, найти координаты ее вершины $A$ и величину параметра $p.$
Решение.
Уравнение параболы, центр которой сдвинут в точку $(x_0, y_0),$ имеет вид $(y-y_0)^2=2p(x-x_0)^2.$
Приведем заданное уравнние к такому виду:
Таким образом, $y^2=4(x^2-2)$ - парабола с центром в точке $(0, 2).$ Параметр $p=2.$
Ответ: $C(0, 2),$ $p=2.$
2.290. Вычислить фокальный параметр точки $M$ параболы $y^2=12x,$ если $y(M)=6.$
Решение.
Чтобы найти фокальный параметр точки $M,$ найдем ее координаты. Для этого подставим в уравнение параболы координату $y:$ $$6^2=12x\Rightarrow 36=12x\Rightarrow x=3.$$
Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(3, 6).$
Из уравнения параболы $y^2=12x$ находим параметр параболы: $y^2=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.$ Следовательно фокус параболы имеет координаты $F(3, 0).$
Далее находим фокальный параметр точки:
Ответ: $6.$
2.298. Из фокуса параболы $y^2=12x$ под острым углом $\alpha$ к оси $Ox$ направлен луч света, причем $tg\alpha=\frac.$ Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.
Решение.
Найдем координаты фокуса. Из канонического уравнения параболы $y^2=2px$ находим параметр: $y^2=12x=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.$
Координаты фокуса $F(p/2, 0)\Rightarrow F(3,0).$
Далее находим уравнение прямой, которая проходит через точку $(3, 0)$ под углом $\alpha: tg\alpha=\frac$ к оси $OX.$ Уравнение ищем в виде $y=kx+b,$ где $k=tg\alpha=\frac.$
Чтобы найти $b,$ в уравнение прямой подставим координаты точки $(3, 0):$
$0=\frac\cdot 3+b\Rightarrow b=-\frac.$ Таким образом, уравнение луча, направленного из фокуса $y=\fracx-\frac.$
Далее, найдем точку пересечения найденной прямой с параболой:
Поскольку по условию луч падает под острым углом, то мы рассматриваем только положительную координату $y=18.$ Соответствующее значение $x=\frac=\frac=27.$
Таким образом, луч пересекает параболу в точке $(27, 18).$
Далее найдем уравнение касательной к параболе в найденной точке $(27, 18)$ по формуле $(y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0):$
Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:
$y-18=\frac(x-27)\Rightarrow 3y-54=x-27\Rightarrow x-3y+27=0.$
Далее, найдем угол $\beta$ между лучем $y=\fracx-\frac$ и касательной $x-3y+27=0.$ Для этого оба уравнения запишем в виде $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2+b_2$ угол вычислим по формуле $tg(L_1, L_2)=\frac$
$$L_2: x-3y+27=0\Rightarrow y=\fracx+9\Rightarrow k_2=\frac.$$
Легко увидеть, что угол между лучем $L_1,$ направленным из фокуса и его отражением равен $\pi-2\beta,$ а угол между отраженным лучем и осью $Ox$ $\pi-(\pi-2\beta)-\alpha=2\beta-\alpha.$
Зная $tg\beta=\frac$ и $tg\alpha=k_1=\frac$ и вспоминая формулы для двойного угла тангенса и тангенс разности, находим $tg(2\beta-\alpha):$
$$tg(2\beta-\alpha)=\frac=\frac=0.$$ Следовательно, прямая, содержащая отраженный луч параллельна оси $Ox.$ Так как она проходит через точку $(27, 18),$ то можно записать ее уравнение $y=18.$