. Пространство S быстро убывающих функций Свёртка Функция Хевисайда
Пространство S быстро убывающих функций Свёртка Функция Хевисайда

Пространство S быстро убывающих функций Свёртка Функция Хевисайда

3 Оглавление 1 Ряды Фурье Тригонометрический ряд Фурье Только sin & cos Ряд Фурье в комплексной форме f(x) = c k? Лемма Римана Лбега Ядро Дирихле Теорема о представимости Производная и интеграл Равенство Ляпунова Периодические решения Пространство S быстро убывающих функций Свёртка Функция Хевисайда Функции ограниченного роста (оригинал) Преобразование Лапласа Производная и интеграл

4 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ОГЛАВЛЕНИЕ 3.4 Производная и интеграл Решение дифференциальных уравнений Ответы

5 Глава 1 Ряды Фурье 1.1 Тригонометрический ряд Фурье Тригонометрическим рядом Фурье для функции f(x) называется ряд a (a n cos nx + b n sin nx), n=1 где коэффициенты вычисляются по формулам Задачи к 1.1 a n = 1 π b n = 1 π f(x) cos nx dx, n = 0, 1, 2. f(x) sin nx dx, n = 1, 2. Разложить в тригонометрический ряд Фурье. 1. f(x) = sin x 2. f(x) = sgn(cos x) 5

7 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf 1.2. ТОЛЬКО SIN & COS 1.2 Разложения только по синусам или только по косинусам Если f(x) не чётная (f( x) = f(x)), то Если f(x) чётная (f( x) = f(x)), то π π f(x) dx = 0. π f(x) dx = 2 f(x) dx. 0 Если f(x) : [, π] R чётная функция, то её ряд Фурье имеет вид при этом a n = 1 π f(x) a a n cos nx, n=1 f(x) cos nx dx = 2 π 0 f(x) cos nx dx. Если f(x) : [, π] R не чётная функция, то её ряд Фурье имеет вид f(x) b n sin nx, при этом n=1 b n = 1 f(x) sin nx dx = 2 f(x) sin nx dx. π π 0 Пусть теперь функция f(x) задана на интервале [0, π] (f : [0, π] R). 7

8 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ Рис f(x) Рассмотрим обратную задачу: Как разложить функцию f(x) в ряд только по синусам (по sin nx )? То есть требуется f(x) b n sin nx. n=1 Чтобы это сделать, продолжим функцию f на весь интервал [, π] так, что продолженная функция f(x) не чётная и f(x) = f(x) для x [0, π]. Сделать это не трудно f(x) = < f(x), x [0, π], f( x), x [, 0]. Рис f(x) не чётное продолжение. 8

10 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ 9. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [0, π/2]функцию на промежуток [, π],чтобы ее ряд Фурье имел вид b n sin(2n 1)x? n=1 10

11 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf 1.3. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ 1.3 Ряд Фурье в комплексной форме Пусть f 2π-периодическая функция. Найдём разложение этой функции в ряд f(x) c k e ikx. Сначала заметим, что Тогда 1 e ikx e ilx dx = f(x)e ilx dx = < 2π, если k = l, 0, если k l. c k e ikx e ilx dx = 2π c k. Таким образом c k = 1 2π f(x)e ikx dx. Задачи к Разложить функцию 1, x > 0, sgn x = 0, x = 0, 1, x < 0. на интервале (, π) в ряд Фурье в комплексной форме. 1 Если предположить, что f(x) = c k e ikx. 11

12 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ 11. Следующие функции разложите в ряд Фурье с использованием комплексной формы ряда Фурье ( a < 1): а) f(x) = a sin x 1 2a cos x+a 2. б) f(x) = 1 a 2 1 2a cos x+a 2, в) f(x) = 1 a cos x 1 2a cos x+a 2. 12

13 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf 1.4. F (X) = C K? 1.4 Представимость функции своим рядом Фурье Лемма Римана Лбега Лемма 1 (Римана Лбега) на промежутке [a, b], то Если функция f интегрируема b lim f(x)e ipx dx = 0. p + a Приведём доказательство когда f непрерывно дифференцируема в промежутке [a, b]. Доказательство. 1) Интегрируем по частям: b a f(x)e ipx dx = 1 b (f(x)e b ) ipx f (x)e ipx dx. ip a a 2) Оценим модуль интеграла b a f(x)e ipx dx = 1 b (f(x)e ipx ip ( 1 b f(x)e ipx + p a b a a b a f (x)e ipx dx) ) f (x)e ipx dx ( 1 f(b) + f(a) + p b a ) f (x) dx. 13

14 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ f (x) dx ограни- 3) Поскольку величины f(b), f(a), чены получаем b a f(x)e ipx dx 0, при p. b a Используя формулу Эйлера, получаем следующее следствие: b b lim f(x) sin px dx = 0 и lim f(x) cos px dx = 0. p + p + a a Ядро Дирихле Пусть S n (x) = f(x), где c k = 1 Преобразуем n k= n π 2π S n (x) = c k e ikx частичная сумма ряда Фурье функции f(t)e ilt dt. Тогда n k= n S n (x) = 1 2π ( 1 2π f(t) ) f(t)e ikt dt e ikx. n k= n e ik(x t) dt. Вычисляя частичную сумму геометрической прогрессии имеем n k= n e iky = eiyn (1 e 2iyn ) 1 e iy. (1.1) 14

15 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf 1.4. F (X) = C K? Функция D n (y) = 1 2π Выполнено свойство В итоге n k= n S n (x) = e iky называется ядром Дирихле. D n (y) dy = 1. f(x y)d n (y) dy Теорема о представимости Теорема 2 Пусть f(x) 2π-периодическая кусочно-гладкая функция. Тогда для её ряда Фурье верно c k e ikx = 1 2( f(x + 0) + f(x 0) ). Задачи к Пусть f(x) непрерывная на [, π] функция. Вычислить предел lim n f(t) cos2 (nt) dt. 13. Вычислить сумму ряда n=1 sin(n) n 15

16 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ 1.5 Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье Как и всегда в анализе, нам важно уметь дифференцировать и интегрировать. Пусть f(x) непрерывно дифференцируемая 2π-периодическая функция, c k e ikx её ряд Фурье. Нас интересует вопрос: каким будет ряд Фурье для производной f (x)? f (x) c k eikx. Теорема 3 При сделанных выше предположениях справедливы равенства c k = ikc k. Доказательство. Вычислим коэффициенты Фурье для производной: c k = 1 f (x)e ikx dx = 2π 1 π f(x)e ikx +ix f(x)e ikx dx = ikc k при k 0. 2π Если k = 0, то c 0 = 1 2π f (x) dx = 1 (f(π) f()) = 0, 2π 16

17 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf 1.5. ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ в силу 2π-периодичности функции f(x). Эта теорема обосновывает законность почленного дифференцирования ряда Фурье гладкой функции: [ d ] c k e ikx dx? = ikc k e ikx, однако в результате мы получим формальный ряд Фурье для производной (который не обязательно сходится). Отметим следующее достаточное условие сходимости ряда Фурье для производной. Лемма 4 Пусть f(x) непрерывно дифференцируемая 2πпериодическая функция и f(x) = Если k c k <, то ряд Фурье для производной сходится: f (x) = ikc k e ikx. c k e ikx. Перейдём к интегрированию. Пусть теперь функция g(x) непрерывна, 2π-периодична и g(x) dx = 0 2. Мы можем написать её формальный ряд Фурье (ничего не утверждая о его сходимости): g(x) c k e ikx. Рассмотрим, кроме того, непрерывно дифференцируемую 2πпериодическую функцию G(x) = x 0 g(t) dt и разложим ее в (схо- 2 Это условие обеспечит 2π-периодичность интеграла G(x) = x g(t) dt. 0 17

18 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ дящийся к ней) ряд Фурье: G(x) = C k e ikx. Теорема 5 При сделанных выше предположениях справедливы равенства C k = c k ik, C 0 = c k ik. k 0 Доказательство. Поскольку G (x) = g(x), то по предыдущей теореме 3: c k = ikc k, k 0. Найдём коэффициент C 0 : 0 = G(0) = следовательно C 0 = k 0 C k = C 0 + k 0 c k ik. C k, Последняя теорема обосновывает законность почленного интегрирования ряда Фурье непрерывной функции: x 0 g(t) dt = x 0 c k e ikt dt = c k e ikx c k ik ik. k 0 k 0 Таким образом, при почленном интегрировании ряда Фурье не надо заботиться о его сходимости: для непрерывной функции даже из формального ряда мы получаем сходящийся. Задачи к Разложить функцию f(x) = ln(1 2a cos x + a 2 ) в ряд Фурье. 18

19 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf 1.6. РАВЕНСТВО ЛЯПУНОВА 1.6 Равенство Ляпунова Пусть функция f тако- Теорема 6 (равенство Ляпунова) ва, что f(x) 2 dx < и пусть c k ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, c k 2 = 1 f(x) 2 dx, 2π называемое равенством Ляпунова. Доказательство. 1) В теореме 2 мы показали, что частичная сумма рада Фурье S n (x) f(x) (при некоторых условиях на функцию f(x)). На самом деле, также верно, что S n (x) f(x) 2 dx 0, n. (1.2) 2) Распишем квадрат модуля из соотношения (1.2): S n (x) f(x) 2 = (S n (x) f(x))(s n (x) f(x)) = (S n (x) f(x))(s n (x) f(x)) = S n (x)s n (x) S n (x)f(x) f(x)s n (x) + f(x)f(x). 3) Проинтегрируем каждое из слагаемых: S n (x)s n (x) dx = 2π n k= n c k 2, 19

20 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ f(x)f(x) dx = f(x) 2 dx, (S n (x)f(x) + S n (x)f(x)+) dx = 4π k= n Таким образом n c k 2. S n (x) f(x) 2 dx = и, из (1.2) получаем n k= n c k 2 1 2π f(x) 2 dx 2π n k= n f(x) 2 dx, n. c k 2, Для тригонометрического ряда Фурье (по синусам и косинусам) равенство Ляпунова имеет следующий вид: a (a 2 n + b 2 n ) = 1 π n=1 f 2 (x) dx Задачи к Напишите равенство Ляпунова для функции f(x) = < 1, x < a, 0, a < x < π 20

21 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf 1.6. РАВЕНСТВО ЛЯПУНОВА и найдите с его помощью суммы числовых рядов + n=1 sin 2 na n 2 и + n=1 cos 2 na n Вычислите интеграл 2π e 10ix + 5e 100ix 2 dx, используя равенство Ляпунова. 17. Найти сумму ряда n=1 1 2 n einx 2 dx 18. Пусть кусочно-гладкая функция f(x) непрерывна в промежутке [0, π]. Докажите, что при выполнении условия имеет место неравенство 0 0 [f(x)] 2 dx f(x) dx = 0 0 [f (x)] 2 dx, называемое неравенством Стеклова, и убедитесь, что равенство в нем осуществляется лишь для функций вида f(x) = A cos x. 19. Пусть кусочно-гладкая функция f(x) непрерывна в промежутке [0, π]. Докажите, что при выполнении условия f(0) = f(π) = 0 имеет место неравенство 21

22 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ 0 [f(x)] 2 dx 0 [f (x)] 2 dx, также называемое неравенством Стеклова, и убедитесь, что равенство в нем имеет место лишь для функций вида f(x) = B sin x. 20. Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [, π] и имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную f (x), интегрируемую с квадратом. Докажите, что если при этом выполнены условия f() = f(π) то имеет место неравенство и f(x) dx = 0, [f(x)] 2 dx [f (x)] 2 dx, называемое неравенством Виртингера, причем равенство в нем имеет место лишь для функций вида f(x) = A cos x + B sin x. 22

23 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf 1.7. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 1.7 Периодические решения Пусть f(x) 2π-периодическая функция. Рассмотри дифференциальное уравнение y + αy = f(x) (1.3) и зададимся вопросом: как найти периодическое решение y(x)? Предположим, что такое решение существует. Запишем ряды Фурье для правой части f(x) и неизвестной функции y(x): f(x) = f k e ikx, y(x) = Подставим эти разложения в (1.3): iky k e ikx + α y k e ikx = y k e ikx. f k e ikx, откуда получаем, что iky k + αy k = f k, и, следовательно y k = f k ik + α ( если α ik). Тогда периодическим решением (1.3) является Задачи к 1.7 y(x) = Найти периодические решения. 21. y + 2y = sin x 22. y + 2y + y = sin x f k ik + α eikx.

24 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ а) y y = 0, б) y + y = y + 4y = n=1 sin nx n 2 24

25 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf 1.7. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 傅里叶级数的一些基本公式与定理 傅里叶级数是由周期函数所确定的一种三角级数, 对于周期为 2π 的周期函数, 傅里叶级数有以下形式 : a (a n cos nx + b n sin nx), n=1 其中 a n, b n 傅里叶系数, 可由以下公式推出 : a n = 1 π b n = 1 π f(x) cos nx dx, n = 0, 1, 2. f(x) sin nx dx, n = 1, 2. 将周期为 2π 的周期函数展开为傅里叶级数需 : 1) 求出傅里叶系数 a n,b n ; 2) 将其写成傅里叶级数形式 : a (a n cos nx + b n sin nx). n=1 对复数形式的傅里叶级数来说, 有以下推论和性质 : f(x) c k e ikx, c k = 1 2π 傅里叶级数的部分和记作 : S n (x) = n k= n f(x)e ikx dx. c k e ikx. 最根本的问题是 求证 : 部分和的极限是否等于 f(x)? 为什么? lim n S n(x)? = f(x). 黎曼 - 勒贝格定理如果函数 f(x) 是定义在区间 [a, b] 上的可积函数, 则 : b lim f(x)e ipx dx = 0. p + a 25

26 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕ 狄利克雷核指的是以下一族函数 : D n (y) = 1 n e iky. 2π 容易得出以下表达式 : D n (y) = 1 1 e 2iny 2π 1 e iy e iny = 1 2π + 1 π 狄利克雷核的一些性质 : 1) D n (y + 2pi) = D n (y) (2π 周期 ); 2) D n ( y) = D n (y) ( 偶函数 ); 3) π D n (y) dy = 1. k= n n k=1 cos(kx) = 1 sin (( n + 1 ) ) 2 x. 2π sin(x/2) 狄利克雷核在求傅里叶级数部分和时有很重要的应用 S n (x) = 下面是最主要的一些分解定理之一 f(x y)d n (y) dy. 设函数 f(x) 是周期为 2π 的周期函数, 且分段光滑, 此时其傅里叶级数满足 : c k e ikx = 1 2( f(x + 0) + f(x 0) ). 帕塞瓦尔恒等式表明, 函数 f(x) 在 L 2 空间上的范数与其傅里叶级数有以下关系 : c k 2 = 1 2π f(x) 2 dx. 26

27 Глава 2 Преобразование Фурье Пусть f(x) интегрируемая функция. Определим преобразование Фурье: ˆf(ξ) = f(x)e i2πxξ dx. Преобразование фурье обозначают: F(f) = ˆf(ξ). Отметим следующие свойства: ˆf(ξ) ограничена и f(ξ) 0 при ξ 0. Но мы не можем утверждать, что ˆf(ξ) интегрируема и, следовательно, не определён интеграл ˆf(ξ)e i2πxξ dξ, который задаёт (как мы увидим позже) обратное преобразование Фурье. Для того, чтобы иметь возможность предстваления f(x) = f(t)e i2πtξ dte i2πxξ dξ потребуется рассмотреть более узкое пространство функций. 27

28 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА Пространство S быстро убывающих функций Пространство S(R) (Schwartz space) на R, состоит из таких функций f, что сама функция и все её производные быстро убывают: sup x k f (l) (x) < для всех k, l 0. x R Заметим, что если f S(R), то f (x) S(R) и xf(x) S(R). Примером функции из пространства S(R) может служить функция Гаусса (Gaussian) f(x) = e x2, которя играет важную роль не только в преобразовании Фурье, но и в других областях математики и физики. На самом деле e ax2 S(R) для всех a > Преобразование Фурье в пространстве S(R) Преобразование Фурье F(f) для функции f S(R) это ˆf(ξ) = f(x)e i2πxξ dx. Будем обозначать F(f(x)) = ˆf(ξ). В следующем утверждении приведены свойства преобразования Фурье. 28

29 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf 2.2. Лемма 7 Пусть f S(R), тогда: 1) F(f(x + h)) = ˆf(ξ) e 2πihξ ; 2) F(f(x)e 2πixh ) = ˆf(ξ + h); 3) F(f(δx)) = δ 1 ˆf(δ 1 ξ); 4) F( d dxf(x)) = 2πiξ ˆf(ξ); 5) F( 2πixf(x)) = d dξ ˆf(ξ). Обраьтите внимание, что умножению на 2πix соответствует производная d dξ, а производной d dx соответствует умножение на 2πiξ. Доказательство. Теорема 8 Если f S(R), то ˆf S(R). Доказательство. Если f S(R), то sup ˆf(ξ) <, также верно, что sup ξ k ˆf (l) (ξ) <, т. к. ξ k ˆf (l) (ξ) = F ( 1 (2πi) k ( ) d k (( 2πix) f(x))) l. dx 29

30 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА Гауссова функция e x2 Мы уже знаем, что e x2 dx = π, тогда e x2 dx = 1 π e (πx)2 d πx = 1. То есть e x2 dx = 1. Важным свойством функции Гаусса заклюается в том, что преобразование Фурье оставляет её на месте: Теорема 9 Если f(x) = e x2, то ˆf(ξ) = f(ξ). Доказательство. Определим функцию K δ (x) = 1 δ e πx2 δ. Лемма 10 Функция K δ (x) обладает следующими свойствами: 1) ˆK δ (ξ) = e δξ2 ; 2) K δ (x) dx = 1; 3) η > 0 имеем lim K δ (x) dx = 0. δ 0 x >η 30

32 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА Свёртка Опеределим операцию свёртки (f g)(x) = f(x t)g(t) dt. Для свёртки выполнены следующие свойства: Лемма 11 Пусть f, g S(R), тогда 1) f g S(R); 2) f g = g f; 3) F(f g) = ˆf(ξ) ĝ(ξ). Лемма 12 Пусть f, g S(R), тогда (f K δ )(x) f(x) равномерно по x при δ Функция Хевисайда Функция H(x) = < 0, x < 0; 1, x > 0. Можно считать, что H(0) =

33 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf 2.3. СВЁРТКА Рис Функция Хевисайда Задачи к 2.3 В следующих задачах вычислите свертку 29. H(x) H(x) 30. H(x) H(1 + x) 31. H(1 x 2 ) H(1 x 2 ) 32. e x e x 33. e ax2 (xe ax2 ), a > 0. Найти преобразования Фурье, функций представленных графически 34. Два прямоугольных импульса 33

34 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА Два прямоугольных импульса 36. Пять прямоугольных импульса 34

35 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf Скалярное произведение и норма Пусть f, g S(R) опеределим скалярное произведение и норму: (f, g) = f = ( f(x) g(x) dx, ) 1 f(x) 2 2 dx. Cледующая теорема является аналогом равенства Ляпунова для рядов Фурье. Теорема 13 (равенство Парсеваля) тогда и, в частности f(x) g(x) dx = f(x) 2 dx = Пусть f, g S(R), ˆf(ξ) ĝ(ξ) dξ, ˆf(ξ) 2 dξ. 35

36 phys.nsu.ru/evseev/cn_ru/fs.pdf ГЛАВА 2. 36

37 Глава 3 Преобразование Лапласа 3.1 Функции ограниченного роста (оригинал) Функция f : [0, + ) R называется функцией ограниченного роста, если существует вещественное число a такое, что интеграл + f(t) e at dt < 0 Точная нижняя граница всех таких a называется показателем роста функции f и обозначается через a(f). Пример 14. Проверить являются ли функции H(x), e x, sin x функциями ограниченного роста. Найти показатель роста. 37

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎