3.2. ЗНАКОМСТВО С БЕССРОЧНОЙ РЕНТОЙ И АННУИТЕТОМ

Среди ценных бумаг, выпускаемых британским правительством, есть так называемые бессрочные ренты.

Поток денежных средств

Приведенная стоимость С

4 Вы можете проверить это, выписав формулу приведенной стоимости:

Обозначив С/(1 +г) = а и 1/(1 +г) = х, получаем:

Умножаем обе части на х и получаем:

Вычитаем уравнение (2) из уравнения (1) и получаем:

Далее подставляем значения а их:

1+г) 1+г Умножаем обе части на (1 + г), это дает: С

Очевидно, что мы можем повторить эти вычисления и найти приведенную стоимость бессрочной ренты при ставке дисконта г и денежных выплатах С. Например, предположим, что некий достопочтенный человек желает обеспе-чить постоянным доходом кафедру финансов в школе бизнеса. Если процентная ставка равна 10% и если меценат намерен передавать кафедре по 100 ООО дол. в год в течение неограниченного срока, сумма, которая сегодня должна быть отложена для этой цели, равна:

Приведенная стоимость бессрочной ренты = — = ООО ООО дол.

Как оценить возрастающую бессрочную ренту

Предположим, что наш меценат неожиданно вспомнил, что он не принял во внимание рост заработной платы, который, возможно, составит в среднем 4% в год. Следовательно, вместо 100 000 дол.

1+г (1 + г/ (1+г/ 1+Г (1 + г/ (1 + г/

К счастью, существует простая формула для суммирования этой геометрической прогрессии5. Если мы предположим, что г больше g, наши громоздкие вычисления упрощаются до:

Приведенная стоимость возрастающей бессрочной ренты = •

Следовательно, если наш меценат желает ежегодно в течение неограниченного времени предоставлять кафедре денежную сумму, которая предусматривает темп роста зарплаты, то сегодня он должен отложить сумму:

ру= с' = 100000 r-g 0,10-0,04

Как оценить Аннуитет представляет собой актив, который приносит фиксированный до- аннуитет ход ежегодно в течение определенного ряда лет. Закладная на дом с равно

мерными выплатами и договор о потребительском кредите, выплачиваемом равными долями в течение оговоренного срока, являются общеизвестными примерами аннуитета.

На рисунке 3-1 проиллюстрирован способ оценки аннуитета. В первом ряду представлена бессрочная рента, которая дает ежегодно поток денежных средств С начиная с года 1. Ее приведенная стоимость равна:

5 Нам необходимо вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии РУ= а(\ +х +х2 + . ), где a = C,/(\ + r), a jc = (l+g)/(l + /% В сноске 4 мы показали, что сумма такой прогрессии равна а/( 1 - jc). Подставим а и хв формулу и найдем, что

/+ 1. Бессрочная рента (выплаты в году 1) Бессрочная рента (выплаты в году /+ 1)

Аннуитет с (сл 1 с года 1 по год t г UJ (1 + г)' РИСУНОК 3-1

Аннуитет в виде регулярных платежей в период с года 1 по год t равен разнице между двумя бессрочными рентами.

Во втором ряду представлен второй вид бессрочной ренты, которая дает ежегодно поток денежных средств С начиная с года / + 1.

Обе бессрочные ренты обеспечивают поток денежных средств начиная с года / + 1. Единственное различие между ними состоит в том, что первая, кроме того, ежегодно дает приток денежных средств в период с года 1 по год t. Иначе говоря, разница между двумя бессрочными рентами представляет собой аннуитет Сза tлет. Приведенная стоимость этого аннуитета, следовательно, равна разнице между стоимостями двух бессрочных рент.

Приведенная стоимость аннуитета = С

Выражение в квадратных скобках - это коэффициент аннуитета, который представляет собой приведенную стоимость со ставкой дисконтирования г аннуитета в 1 доллар, выплачиваемого в конце каждого периода t\

Предположим, например, что наш меценат начал колебаться и желает знать, во сколько ему обойдется ежегодная выплата кафедре по 100 ООО дол. в течение только 20 лет. По нашей формуле мы получаем следующий ответ:

= 100 ООО х 8,514 = 851400дол.

Или же мы можем просто посмотреть ответ в таблице аннуитетов в Прило-жении в конце книги (таблица 3). Эта таблица дает значения приведенной стоимости доллара, который должен быть получен в любой из периодов t. В нашем примере t= 20, а процентная ставка г = 0,10, и поэтому мы смотрим на двадцатое по счету число в столбце, обозначенном 10%. Оно равно 8,514. Умножаем 8,514 на 100 000 дол. и получаем ответ 851 400 дол.

Вам всегда следует предельно внимательно отслеживать те случаи, когда вы могли бы прибегнуть к этим формулам, чтобы облегчить себе жизнь. Например, нам иногда требуется вычислить, сколько годовых платежей, приносящих фиксированный годовой процент, может накопиться к концу / периодов. В этом случае легче всего вычислить приведенную стоимость и затем умножить ее на (1 + г)', чтобы определить будущую стоимость7. Теперь предположим, что наш меценат желает знать, сколько может принести богатство в размере 100 000 дол., если каждый год инвестировать его, вместо того чтобы отдавать недостойным ученым. Ответ может быть таким:

Будущая стоимость = PV* 1,10х = 851400*6,727= 5,73млн дол.

Как мы узнали, что 1,1020 равно 6,727? Очень легко, мы просто заглянули в таблицу 2 Приложения в конце книги "Будущая стоимость 1 доллара через / лет".

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎