Показательно-степенные уравнения и неравенства
Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
Степенная функция и ее свойства.
Показательная функция и ее свойства.
Тема III.
Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Тема IV.
Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Тема V.
Опыт проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
V.1.
V.2.
Задачи для самостоятельного решения.
Заключение.
Выводы и предложения.
Список используемой литературы.
Приложения
«…радость видеть и понимать…»
А.Эйнштейн.
В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию -- человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.
Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто со-стоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой
Мне довелось решать множество методических задач. Я попы-таюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше -- не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появ-ляются новые вопросы.
Но еще важнее самого опыта -- учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?
И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпи-терами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда -- с необходи-мостью -- и учитель.
В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 - 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени - это показательно-степенные уравнения и неравенства.
В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.
Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.
Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению - следствию или неравенству - следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.
Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.
Таким образом тема, моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
Целями настоящей работы являются:
1. Проанализировать литературу по данной теме.
2. Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.
4. Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.
Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:
1. Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
2. Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.
План дипломной работы:
Глава I. Анализ литературы по теме исследования.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
II.2. Показательная функция и ее свойства.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.
1. Обучающий материал.
2. Задачи для самостоятельного решения.
Заключение. Выводы и предложения.
Список использованной литературы.
В I главе проанализирована литература по теме: «Решения показательно-степенных уравнений и неравенств».
В II главе теоретические сведения о степенной и показательной функциях и применение их свойств при решении показательно-степенных уравнений и неравенств, выявляются недостатки в понимании учащимися отрицательного аргумента показательно-степенной функции.
В III главе «Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных уравнений, рассмотрен алгоритм решения показательно-степенных уравнений и примеры, и примеры в которых он применяется.
В IV главе «Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных неравенств и рассмотрен план решения показательно-степенных неравенств и примеры, в которых он применяется.
В V главе рассматривается методика обучения учащихся решению показательно-степенных уравнений и неравенств, приведен обучающий материал, разработана система заданий с учетом разного уровня сложности, которая содержит в себе задания используемые на уроке, задания для самостоятельного решения.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
Степенная функция с натуральным показателем. Функ-ция у = хn, где n -- натуральное число, называется степен-ной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:
Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ-ностью называется функция, заданная формулой у = kxn, где число k называется коэффициентом пропорциональ-ности.
Перечислим свойства функции у = kx.
Область определения функции -- множество всех действительных чисел.
y = kx -- нечетная функция (f( -- х) = k ( -- х)= -- kx = -k(х)).
3) При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.
Гра-фик (прямая) изображен на рисунке II.1.
При n=2 получаем функцию y = х2, ее свойства:
Функция у --х2. Перечислим свойства функции у = х2.
Область определения функции -- вся числовая прямая.
у = х2-- четная функция (f( -- х) = ( -- x)2 = x2 = f (х)).
На промежутке [0; + ??) функция возрастает.
В самом деле, если , то , а это и означает возрастание функции.
4) На промежутке (--оо; 0] функция убывает.
В самом доле, если ,то -- х1 > -- х2 > 0, а потому
(--х1)2> ( -- х2)2, т. е. , а это и означает убывание функции.
Графиком функции y=х2 является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.
При n = 3 полу-чаем функцию у = х3, ее свойства:
Область определения функции -- вся числовая прямая.
3) Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x3 изображен на рисунке. Он на-зывается кубической параболой.
График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.
Пусть n-- произвольное четное натуральное число, большее двух:
n = 4, 6, 8,. . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х2. График такой функ-ции напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.
Пусть n -- произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, . . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции на-поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.
Степенная функция с целым отрицательным показа-телем. Рассмотрим функцию у = х-n, где n -- натуральное чис-ло. При n = 1 получаем у = х-n или у = Свойства этой функции:
График (гипербола) изоб-ражен на рисунке II.4.
Пусть n -- нечетное число, большее единицы,
n = 3, 5, 7, . . В этом случае функция у = х-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у = График функции у = х-n (n = 3, 5, 7, . ) напоминает
график функции у = . Пусть n -- четное число, например п = 2. Перечислим не-которые свойства функции у = х-2, т. е. функции y = .
Функция определена при всех х 0.
y = четная функция.
y = убывает на (0; +оо) и возрастает на (--оо;0).
Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х-n при четном n, большем двух.
График функции у = изображен на рисунке. Ана-логичный вид имеет график функции , если n = 4, 6, . .
Функции вида , , обладают теми же свойствами, как и функция .
Степенная функция с положительным дробным показа-телем. Рассмотрим функцию у = хr, где r -- положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.
Область определения -- луч [0; + оо).
Функция ни четная, ни нечетная.
Функция у = хr возрастает на [0; +оо).
На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками функций у = х2 и у = х3, заданных на промежутке [0; + оо).
Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где .
На том же рисунке изображен график функции . Подоб-ный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где .
Степенная функция с отрицательным дробным пока-зателем. Рассмотрим функцию у = х-r, где r -- положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.
Область определения -- промежуток (0; + оо).
Функция ни четная, ни нечетная.
Функция у = х-r убывает на (0; +оо).
Построим для примера график функции у -- х таблицу значений функции:
Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).
Подобный вид имеет график любой функции
у = хr, где r -- отрицательная дробь.
II. 2. Показательная функция и ее свойства.
Функция, заданная формулой вида у = ах, где а -- некоторое положительное число, не равное единице, называется показатель-ной.
Функция у = ах при а>1 обладает следующими свойст-вами (см. рис. II.7.):
а) область определения -- множество всех действительных чисел;
б) множество значений -- множество всех положительных чисел;
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если x > 0, то аx > 1;
е) если х < 0, то 0 < ах < 1.
3. Функция у = ах при 0<а< 1 обладает следующими свойст-вами (см. рис. II.8.):
а) область определения D(f)=R;
б) множество значений E(f)=R+;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0 < ах < 1;
е) если х < 0, то ах > 1.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.
Так называются уравнения вида , где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.
Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и
а(х)g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.
Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:
а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g